Формула пика примеры. Метод узлов в задаче B5

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я, ученик 6 класса. Изучать геометрию начал ещё с прошлого года, ведь занимаюсь я в школе по учебнику «Математика. Арифметика. Геометрия» под редакцией Е.А. Бунимович, Л.В.Кузнецова, С.С. Минаева и другие.

Наибольшее мое внимание привлекли темы «Площади фигур», « Составление формул». Я заметил, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, найти площадь пола, который придется покрасить. Любопытно ведь, чтобы купить необходимое количество обоев для ремонта, нужно знать размеры комнаты, т.е. площадь стен. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызывало у меня затруднений.

Заинтересовавшись этой темой, я начал искать дополнительный материал в Интернете. В результате поисков я натолкнулся на формулу Пика- это формула для вычисления площади многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге. Вычисление площади по этой формуле мне показалось доступным любому ученику. Именно поэтому я решил провести исследовательскую работу.

Актуальность темы:

Данная тема является дополнением и углублением изучения курса геометрии.

Изучение данной темы поможет лучше подготовиться к олимпиадам и экзаменам.

Цель работы:

Ознакомиться с формулой Пика.

Овладеть приемами решений геометрических задач с использованием формулы Пика.

Систематизировать и обобщить теоретический и практический материалы.

Задачи исследования:

Проверить эффективность и целесообразность применения формулы при решении задач.

Научиться применять формулу Пика в задачах разной сложности.

Сравнить задачи, решенные с помощью формулы Пика и традиционным способом.

Основная часть

1.1. Историческая справка

Георг Алекса́ндр Пик - австрийский математик, родился 10 августа 1859 года. Он был одарённым ребёнком, его обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Всемирную известность ему принесла формула для определения площади решетки полигонов. Свою формулу он опубликовал в статье в 1899 году. Она стала популярной, когда польский ученый Хьюго Штейнгауз включил ее в 1969 году в издание математических снимков.

Георг Пик получил образование в Венском университете и защитил кандидатскую в 1880 году. После получения докторской степени он был назначен помощником Эрнеста Маха в Шерльско- Фердинандском университете в Праге. Там же он стал преподавателем. Он оставался в Праге до своей отставки в 1927 году, а затем вернулся в Вену.

Пик возглавлял комитет в немецком университете Праги, который назначил Эйнштейна профессором кафедры математической физики в 1911 году.

Он был избран членом Чешской академии наук и искусств, но был исключен после захвата нацистами Праги.

Когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, он вернулся Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

1.2. Исследование и доказательство

Свою исследовательскую работу я начал с выяснения вопроса: площади каких фигур я смогу найти? Составить формулу для вычисления площади различных треугольников и четырехугольников я мог. А как же быть с пяти-, шести-, и вообще с многоугольниками?

В ходе исследования на различных сайтах я увидел решения задач на вычисление площади пяти-, шести-, и других многоугольников. Формула, позволяющая решать данные задачи, называлась формулой Пика. Она выглядит так:S=B+Г/2-1 , где В - количество узлов, лежащих внутри многоугольника, Г - количество узлов, лежащих на границе многоугольника. Особенность данной формулы состоит в том, что её можно применять только для многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.

Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны ½, а следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т.

Чтобы найти это число, обозначим через n число сторон многоугольника, через В - число узлов внутри него,через Г - число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна 180°. Т.

Теперь найдем сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2.180°, т.е. общая сумма углов равна 360°. В; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (Г- n)180 °, а сумма углов при вершинах многоугольника будет равна (Г- 2)180 °. Таким образом, Т= 2.180°. В+(Г-n)180 °+(n-2)180 °. Выполнив раскрытие скобок и разделив на 360°, получаем формулу для площади S многоугольника, известную как формула Пика.

2. Практическая часть

Эту формулу решил проверить на заданиях из сборника ОГЭ-2017. Взял задачи на вычисление площади треугольника, четырехугольника и пятиугольника. Решил сравнить ответы, решая двумя способами: 1) дополнил фигуры до прямоугольника и из площади полученного прямоугольника вычел площадь прямоугольных треугольников; 2) применил формулу Пика.

S = 18-1,5-4,5 = 12 и S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 и S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 и S = 43+14/2-1 = 49

Сравнив полученное, делаю вывод, что обе формулы дают один и тот же ответ. Найти площадь фигуры по формуле Пика, оказалось быстрее и легче, ведь вычислений было меньше. Легкость решения и экономия времени на вычислениях мне пригодятся в будущем при сдаче ОГЭ.

Это подтолкнуло меня на проверку возможности применения формулы Пика на более сложных фигурах.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Заключение

Формула Пика проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника.

Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.

Я уверен, что при сдаче выпускных экзаменов, задачи на вычисление площади фигур не будут вызывать затруднения. Ведь я уже знаком с формулой Пика.

Список литературы

Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др. Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: учебн. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе -3-е изд.-М.: Просвещение, 2014.- 223, с. : ил. - (Сферы).

Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс: учебн. для общеобразоват. организаций-5-е изд.-М.: Просвещение, 2016.-240с. : ил.- (Сферы).

Васильев Н.Б. Вокруг формулы Пика. //Квант.- 1974.-№2. -с.39-43

Рассолов В.В. Задачи по планиметрии. / 5- изд.,испр. И доп. - М.: 2006.-640с.

И.В. Ященко.ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: О-39 36 вариантов - М.: Издательство «Национальное образование», 2017. -240 с. - (ОГЭ. ФИПИ- школе).

«Решу ОГЭ»: математика. Обучающая система Дмитрия Гущина. ОГЭ-2017: задания, ответы, решения [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (дата обращения 02.04.2017)

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).

Теорема Пика

Формула

Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.

Обозначим его площадь через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через .

Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика :

В частности, если известны значения I и B для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за , даже не зная координат его вершин.

Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Доказательство

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

Обобщение на высшие размерности

К сожалению, эта столь простая и красивая формула Пика плохо обобщается на высшие размерности.

Наглядно показал это Рив (Reeve), предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива ) со следующими вершинами:

где — любое натуральное число. Тогда этот тетраэдр при любых не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки , , , и никакие другие. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.

Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта (Ehrhart Polynomial), но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок. Это даже не формула, а настоящая теорема . На первый взгляд, она может показаться сложной. Но достаточно решить пару задач - и вы поймете, насколько это крутая фишка. Так что вперед!

Для начала введем новое определение:

Узел координатной стеки - это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.

Обозначение:

На первой картинке узлы вообще не обозначены. На второй обозначены 4 узла. Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.

Какое отношение это имеет к задаче B5? Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки. Как следствие, для них работает следующая теорема:

Теорема. Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки. Тогда площадь многоугольника равна:

где n - число узлов внутри данного многоугольника, k - число узлов, которые лежат на его границе (граничных узлов).

В качестве примера рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные узлы.

На первой картинке дан обычный треугольник. На второй отмечены его внутренние узлы, число которых равно n = 10. На третей картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего k = 6.

Возможно, многим читателям непонятно, как считать числа n и k . Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску.

С граничными узлами чуть сложнее. Граница многоугольника - замкнутая ломаная , которая пересекает координатную сетку во многих точках. Проще всего отметить какую-нибудь «стартовую» точку, а затем обойти остальные.

Граничными узлами будут только те точки на ломаной, в которых одновременно пересекаются три линии :

Собственно, ломаная;
Горизонтальная линия координатной сетки;
Вертикальная линия.

Посмотрим, как все это работает в настоящих задачах.

Задача. Найдите площадь треугольника, если размер клетки равен 1 x 1 см:

Для начала отметим узлы, которые лежат внутри треугольника, а также на его границе:

Получается, что внутренний узел всего один: n = 1. Граничных узлов - целых шесть: три совпадают с вершинами треугольника , а еще три лежат на сторонах. Итого k = 6.

Теперь считаем площадь по формуле:

Вот и все! Задача решена.

Задача. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Снова отмечаем внутренние и граничные узлы. Внутренних узлов всего n = 2. Граничных узлов: k = 7, из которых 4 являются вершинами четырехугольника , а еще 3 лежат на сторонах.

Остается подставить числа n и k в формулу площади:

Обратите внимание на последний пример. Эту задачу реально предлагали на диагностической работе в 2012 году. Если работать по стандартной схеме, придется делать много дополнительных построений. А методом узлов все решается практически устно.

Важное замечание по площадям

Но формула - это еще не все. Давайте немного перепишем формулу, приведя слагаемые в правой части к общему знаменателю . Получим:

Числа n и k - это количество узлов, они всегда целые. Значит, весь числитель тоже целый. Мы делим его на 2, из чего следует важный факт:

Площадь всегда выражается целым числом или дробью . Причем в конце дроби всегда стоит «пять десятых»: 10,5; 17,5 и т.д.

Таким образом, площадь в задаче B5 всегда выражается целым числом или дробью вида ***,5. Если ответ получается другим, значит, где-то допущена ошибка. Помните об этом, когда будете сдавать настоящий ЕГЭ по математике!

Гибадуллина Г.И. (Нурлат, МАОУ СОШ №1)

1. Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др. Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: учебн. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе -3–е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 223, с. : ил. – (Сферы).

2. Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс: учебн. для общеобразоват. организаций. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2016. – 240 с.: ил. – (Сферы).

3. Васильев Н.Б. Вокруг формулы Пика // Квант. – 1974. – №2. – С. 39–43.

4. Рассолов В.В. Задачи по планиметрии. 5–е изд., испр. и доп. – М.: 2006. – 640 с.

5. Ященко И.В. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: О-39 36 вариантов – М.: Изд-во «Национальное образование», 2017. – 240 с. – (ОГЭ. ФИПИ – школе).

6. Решу ОГЭ: математика. Обучающая система Дмитрия Гущина. ОГЭ-2017: задания, ответы, решения [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (дата обращения 02.04.2017).

Я ученик 6 класса. Изучать геометрию начал ещё с прошлого года, ведь занимаюсь я в школе по учебнику «Математика. Арифметика. Геометрия» под редакцией Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и другие.

Актуальность темы . Данная тема является дополнением и углублением изучения курса геометрии.

Изучение данной темы поможет лучше подготовиться к олимпиадам и экзаменам.

Цель работы:

1. Ознакомиться с формулой Пика.

2. Овладеть приемами решений геометрических задач с использованием формулы Пика.

3. Систематизировать и обобщить теоретический и практический материалы.

Задачи исследования:

1. Проверить эффективность и целесообразность применения формулы при решении задач.

2. Научиться применять формулу Пика в задачах разной сложности.

3. Сравнить задачи, решенные с помощью формулы Пика и традиционным способом.

Основная часть

Историческая справка

Георг Александр Пик - австрийский математик , родился 10 августа года. Он был одарённым ребёнком, его обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Всемирную известность ему принесла формула для определения площади решетки полигонов. Свою формулу он опубликовал в статье в 1899 году. Она стала популярной, когда польский ученый Хьюго Штейнгауз включил ее в 1969 году в издание математических снимков.

Он был избран членом Чешской академии наук и искусств, но был исключен после захвата нацистами Праги.

Исследование и доказательство

В ходе исследования на различных сайтах я увидел решения задач на вычисление площади пяти-, шести-, и других многоугольников. Формула, позволяющая решать данные задачи, называлась формулой Пика. Она выглядит так: S=B+Г/2-1, где В - количество узлов, лежащих внутри многоугольника, Г - количество узлов, лежащих на границе многоугольника. Особенность данной формулы состоит в том, что её можно применять только для многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.

Чтобы найти это число, обозначим через n число сторон многоугольника, через В - число узлов внутри него, через Г - число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна 180°. Т.

Теперь найдем сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2.180°, т.е. общая сумма углов равна 360°. В; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (Г - n)180°, а сумма углов при вершинах многоугольника будет равна (Г - 2)180°. Таким образом, Т=2.180°. В+(Г-n)180°+(n-2)180°. Выполнив раскрытие скобок и разделив на 360°, получаем формулу для площади S многоугольника, известную как формула Пика.

Практическая часть

S = 18-1,5-4,5 = 12 и S = 7+12/2-1= 12.

S = 24-9-3 = 12 и S = 7+12/2-1 = 12.

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 и S = 43+14/2-1 = 49.

Это подтолкнуло меня на проверку возможности применения формулы Пика на более сложных фигурах.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Заключение

Библиографическая ссылка

Габбазов Н.Н. ФОРМУЛА ПИКА // Старт в науке. – 2017. – № 6-1. – С. 130-132;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=908 (дата обращения: 05.03.2020).

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Выполнила ученица МОУ СОШ №7 8 «А» класса Юношева Ксения Преподаватель: Бабина Наталья Алексеевна г. Сальск 2011 год «Формула Пика»

Цели работы: Выяснение существования иной, отличной от школьной программы, формулы нахождения площади решетчатого многоугольника. Области применения искомой формулы.

Введение. Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. На данном этапе, школьная система рассчитана на одиннадцатилетнее обучение. Всем учащимся в конце одиннадцатого класса предстоит сдавать Единый Государственный Экзамен, который покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда предоставляет самые рациональные способы решения каких-либо задач. Например, просматривая результаты ЕГЭ 2010 года видно, что многие ученики теряют баллы из-за задания В6. Я задалась целью, как же можно сэкономить время и правильно решить это задание.

Задание В6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см на 1 см изображены фигуры(см. рисунок). Найдите их площади в квадратных сантиметрах.

Итак, чтобы все-таки решить это задание мне нужно применить формулы нахождения площади, которые мы изучаем в 8классе.Но на это уйдет очень много времени, а мне нужно ответить на поставленный вопрос как можно быстрее, ведь время на экзамене строго ограниченно. Поэтому, проведя исследования, я выяснила, что существует теорема Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая поможет мне быстрее справиться с заданием.

Историческая справка. Георг Александр Пик (10 августа, 1859 - 26 июля 1942) был австрийским математиком. Он умер в концлагере Терезин. Сегодня он известен из-за формулы Пика для определения площади решетки полигонов. Он опубликовал свою формулу в статье в 1899 году, она стала популярной, когда Хьюго Штейнгауз включил её в 1969 году в издание математических снимков. Пик учился в Венском университете и защитил кандидатскую в 1880 году. После получения докторской степени он был назначен помощником Эрнеста Маха в Шерльско-Фердинандском университете в Праге. Он стал преподавателем там в 1881 году. Взяв отпуск в университете в 1884 году, стал работать с Феликсом Клейном в Лейпцигском университете. Он оставался в Праге до своей отставки в 1927 году, а за тем вернулся в Вену. Пик возглавлял комитет в(тогда) немецком университете Праги, который назначил Альберта Эйнштейна профессором кафедры математической физики в 1911 году. Пик был избран членом Чешской академии наук и искусств, но был исключен после захвата нацистами Праги. После ухода на пенсию в 1927 году, Пик вернулся в Вену, город, где он родился. После аншлюса, когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, Пик вернулся в Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. Георг был отправлен в концентрационный лагерь Терезин 13 июля 1942. Он умер через две недели.

Теорема Пика. Теорема Пика - классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна сумме В + Г/2 – 1, где В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Доказате льст во теоремы Пика. Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны 1/2, а, следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т. Чтобы найти это число, обозначим через п число сторон многоугольника, через i - число узлов внутри его и через b - число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна πТ. Теперь найдём эту сумму другим способом. Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2 π , т. е. общая сумма таких углов равна 2 π i ; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (b – n) π , а сумма углов при вершинах многоугольника - (п – 2) π . Таким образом, π Т = 2i π + (b – n) π + (n – 2) π , откуда получаем выражение для площади S многоугольника, известное как формула Пика. Например, на рисунке b = 9, i = 24, а следовательно, площадь многоугольника равна 27,5.

Применение. Итак, вернемся к заданию В6. Теперь, зная новую формулы, мы легко сможем найти площадь этого четырехугольника. Так как В – 5; Г – 14, то 5+14:2-1=11 (см в квадрате) Площадь данного четырехугольника равна 11 см в квадрате.

По той же формуле мы можем найти площадь треугольника. Так как В-14, Г-10,то 14+10:2-1=18 (см в квадрате) Площадь данного треугольника равна 18 см в квадрате.

Если В-9, Г-12, тогда: 9+12:2-1=14 (см в квадрате) Площадь данного четырехугольника равна 14 см в квадрате.

Области применения формулы. Помимо того, что формула применяется в различного рода экзаменах, заданиях и так далее, она сопровождает весь окружающий нас мир.

По формуле Пика S =В + ½ Г-1 1)туловище В=9,Г=26, S=9+½·26-1=9+13-1= 21 2) хвост В=0,Г=8, S= 0 +½· 8 -1= 3 3) S= 21+3=24

По формуле Пика S =В + ½ Г-1 В=36, Г=21 S = 36 + ½· 21 -1=36+10,5-1=45,5

Заключение. В итоге, я пришла к выводу, что существует много различных способов решения задач на нахождение площади, не изучаемых в школьной программе, и показала их на примере формулы Пика.

Справочник. Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат). Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые.