Как выглядит работа сил в обобщенных координатах. Существуют различные способы вычисления обобщенных сил

Пусть имеем систему материальных точек , подчиненную s удерживающим связям, уравнения которых имеют вид, приведенный выше.

Если бы система была свободной, то все декартовых координат ее точек были бы независимыми. Для указания положения системы потребовалось бы задать все декартовых координат ее точек . В несвободной механической системе декартовых координат ее точек должны удовлетворять s уравнениям связей, поэтому независимыми среди них будут только координат.

Число независимых между собой скалярных величин, однозначно определяющих положение механической системы в пространстве, называется числом степеней свободы системы.

Следовательно, механическая система, состоящая из N свободных материальных точек, имеет степеней свободы. Несвободная система из N материальных точек с s удерживающими связями степеней свободы.

Определяя положение несвободной системы, мы можем независимо задавать только координат; остальные s координат определяются из уравнений связей. Однако положение несвободной системы можно задавать более удобным способом - вместо независимых декартовых координат задавать такое же число других геометрических величин, через которые декартовы координаты (как зависимые, так и независимые) могут быть однозначно выражены. В качестве таких величин, называемых обобщенными координатами системы, могут выбираться углы, линейные расстояния, площади и т.п. Удобство состоит в том, что обобщенные координаты можно выбирать с учетом наложенных связей, т.е. сообразуясь с характером движения, допускаемого для системы всей совокупностью наложенных связей. При этом связи учитываются автоматически, а необходимость решать уравнения связей относительно зависимых координат отпадает.

Пример 1. Положение физического маятника, состоящего из шарнирно закрепленного в точке О тяжелого стержня О А, вполне определяется заданием угла (рис. 78). Если угол задан, то для любой точки стержня с заданным расстоянием могут быть вычислены ее декартовы координаты:

Пример 2. Для механической системы, состоящей из математического маятника на подвижной платформе (рис. 79), положение в пространстве вполне определяется величинами s и ( заданы).

Положение платформы определяется расстоянием s, координаты точечной массы М также легко вычисляются:

Величины (пример 1), и s (пример 2) являются обобщенными координатами указанных систем. Это понятие можно распространить на случай произвольной механической системы.

Таким образом, обобщенными координатами механической системы называются любые независимые между собой геометрические величины, однозначно определяющие положение системы в пространстве. Число обобщенных координат равно числу степеней свободы системы .

Независимо от геометрического смысла и, соответственно, размерности, обобщенные координаты обозначают единообразным способом, буквой q с номером: . Из того факта, что обобщенные координаты однозначно определяют положение механической системы в выбранной системе координат Oxyz, следует, что существуют функции

выражающие декартовы координаты всех точек системы через обобщенные координаты и, быть может, время t. Конкретный вид этих функций устанавливается свой для каждой системы (см. примеры 1 и 2).

Если ввести радиусы-векторы точек () указанные функции можно представить в векторной форме

Введем теперь понятие обобщенной силы. Зафиксируем систему в произвольный момент времени t и сообщим ей из этого положения возможное перемещение.

Пусть в результате обобщенные координаты получают приращения (вариации) . Соответствующие элементарные перемещения точек системы найдем, вычисляя дифференциалы функций при фиксированном () времени:

Вычисляя возможную работу приложенных сил, найдем:

Видно, что возможная работа выражается однородной функцией первой степени (линейной формой) относительно вариаций обобщенных координат с коэффициентами

т. e. имеет вид

Коэффициенты называются обобщенными силами.

Таким образом, каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная сила . При этом обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называется коэффициент при вариации этой обобщенной координаты в выражении для возможной работы сил, приложенных к точкам системы.

Обобщенные силы можно вводить для отдельных групп сил, например для активных сил, для реакций связей, для потенциальных сил и т.д. Тогда полная обобщенная сила будет выражаться суммой обобщенных сил, соответствующих этим выделенным группам. Так, если действующие силы поделены на активные силы и реакции связей, то полные обобщенные силы будут равны

где - обобщенные активные силы, - обобщенные реакции связей.

Обобщенные реакции идеальных связей всегда равны нулю. По этой причине реакции идеальных связей можно при вычислении обобщенных сил игнорировать.

Пример 3. Вычислить обобщенную силу физического маятника, состоящего из стержня ОА длиной и массой (рис. 80).

Решение. Физический маятник является системой с одной степенью свободы . Следовательно, положение маятника определяется одной обобщенной координатой, в качестве которой выберем угол наклона к вертикали .

Изображаем маятник в произвольном положении, прикладываем действующие силы. Реакции в опоре А можно не показывать, так как шарнир является идеальной связью и его вклад в обобщенную силу равен нулю. Сообщаем системе возможное перемещение - элементарный поворот маятника на угол в сторону возрастания угла . Работу совершает только вес маятника . Его точка приложения (центр тяжести С стержня) опишет дугу длиной , при этом поднимется вдоль вертикали на величину , совершив элементарную работу

В аналитической механике наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело со стороны других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе . Для определения обобщенной силы рассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы.

Если механическая система при наложенных на нее голономных удерживающих h связях имеет s =3n-h степеней свободы, то положение этой системы определяется ( i = s)

обобщенными координатами и (2.11): Согласно (2.13), (2.14) виртуальное перемещение k – й точки

(2.13)

(2.14)

Подставляя (2.14): в формулу для виртуальной работы сил

(2.24), получаем

Скалярную величину = (2.26)

называют обобщенной силой , соответствующей i -й обобщенной координате.

Обобщенной силой, соответствующей i -й обобщенной координате, называется величина, равная множителю при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.

Виртуальная работа определяется от

¾ задаваемых активных сил, независящих от ограничений и

¾ реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость T j от N j , (T j ¾это, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).

В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из определения следует, что обобщенная сила ¾ скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы.

Пример 2.10. Для диска радиусом r и массой m , который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис.2.9), за обобщенную координату можно принять:

¾ либо q = s ¾ перемещение центра масс диска,

¾либо q = j ¾ угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то:

¾в первом случае обобщенной силой будет

Рис. 2.9 Q s = mg sina, а

¾во втором случае ¾ Q j = mg r cosa.

Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из выражения (2.25)

(2.27)

следует, что единица измерения обобщенной силы равна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты.

Если в качестве обобщенной координаты q принять q = s ¾ перемещение какой-либо точки, то единица измерения обобщенной силы Q s ¾ будет[ньютон ] ,

Если же в качестве q = j ¾ будет принят угол поворота (в радианах) тела, то единицей измерения обобщенной силы Q j ¾ будет [ньютон ´ метр ].

Рис.71

Рис.70

Рис.69

Положение точек кривошипно-шатунного механизма (рис.70) можно определить заданием угла поворота кривошипа или расстоянием s , определяющим положение ползуна В (при ).

Положение сферического маятника (рис.71) определяется заданием двух параметров, углов и .

Минимальное количество независимых друг от друга обобщенных координат, которых достаточно, чтобы полностью и однозначно определить положение всех точек системы, называют числом степеней свободы этой системы.

Вообще для любой материальной системы можно назначить несколько обобщенных координат. Например, у кривошипно-шатунного механизма (рис.70) указаны две обобщенные координаты и . Но это не значит, что у механизма две степени свободы, так как одну координату можно определить через другую:

А вот у маятника (рис.71) две степени свободы, т.к. определяется его положение двумя независимыми обобщенными координатами. Кстати, если длина маятника изменяется, то для определения положения точки М потребуется еще один параметр – обобщенная координата l , длина нити. И у маятника станут три степени свободы.

Обобщенные координаты в общем случае будем обозначать буквой q .

Пусть материальная система имеет s степеней свободы. Положение ее определяется обобщенными координатами: q 1 , q 2 , q 3 ,…, q k ,…, q s . .

Нетрудно убедиться, что декартовы координаты n точек системы можно определить как функции обобщенных координат и времени:

Так у маятника (рис.71) координаты точки М

есть функции координат l , и , и времени t , если l = l(t).

Соответственно, и радиус-вектор точек системы можно определить как функцию обобщенных координат и времени:

Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q k .

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Q k , соответствующую обобщенной координате q k , надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :

где – перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k –той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t , отношение можно определять как частную производную . Тогда

где координаты точек – функции обобщенных координат (5).

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек – функции обобщенных координат, то

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [q ] – метр, то размерность

Нм/м = Ньютон, если [q ] – радиан, то = Нм; если [q ] = м 2 , то и т.п.

Пример 23. По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко М весом Р (рис.72). Стержень считаем невесомым. Определим обобщенные силы.

1. Согласно определению (2.26) , обобщенная сила

Принимая во внимание, что , получаем

(2.28)

Этот способ определения обобщенных сил называют аналитическим.

Пример 2.11. Найти обобщенную силу Q q = j , если в кривошипно-ползунном механизме (рис.2.10) OA=AB= l, ¾ вертикальная, а ¾ горизонтальная силы.

Решение. Так как F 1 x =0 и F 2 y =0 ,то обобщенная сила согласно (2.28)

Проекции сил и координаты точек их приложения определяются как

F 1y =- F 1 ; F 2x =- F 2 ;

Рис.2.10 y A = l sin j ; x B = 2 l cos j.

Следовательно, Q q = j = - F 1 l cos j + 2F 2 l sin j.

2. Укажем на более простой способ вычисления обобщенной

силы, полезный при решении задач.

Обобщенные силы для механических систем с числом степеней свободы s=k > 1 целесообразно вычислять последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит и их вариации независимы между собой. Системе всегда можно сообщить такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не варьируются. В этом случае из (2.27)

. получаем

(2.29)

откуда (2.30)

Индекс q i в (2.30) означает, что виртуальная работа сил, действующих на систему, определяется на перемещениях точек приложения этих сил, соответствующих вариации только одной i– йобобщенной координаты.

Пример 2.12 Найти обобщенные силы и для системы, показанной на рис. 2.11. Масса груза (1) равна m 1 , массацилиндра (2)равна m 2 , а его радиус ¾ r. Нить по блоку (3) и цилиндру (2) не скользит. Центр масс цилиндра (2) движется вдоль вертикали.

Решение. Для определения обобщенной силы зададим приращение ds ¹ 0 координате груза (1), а для угла j поворота цилиндра (2) ,будем считать

dj =0. При этом центр масс цилиндра (2)

будет иметь перемещение, равное перемещению груза. Следовательно,

Рис.2.11

где P 1 =m 1 g; P 2 =m 2 g .

Определяя , будем полагать, что ds=0, а dj ¹ 0. Тогда

3. Если силы, действующие на механическую систему, потенциальные, то для определения обобщенных сил можно использовать силовую функцию U или потенциальную энергию П системы.

Потенциальная сила

(2.31)

Подставляя проекции силы в (2.30) , получаем

ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ

ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ

Величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механич. системы её положение определяется обобщёнными координатами. Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при этом каждой обобщённой координате qi соответствует своя О. с. Qi. Значение О. с. Q1, соответствующей координате q1, можно найти, вычислив элем. работу dA1 всех сил на возможном перемещении системы, при к-ром изменяется только координата q1:, получая приращение dq1. Тогда dA1=Q1dq1т. е. коэффициент при dqi в выражении dA1 и будет О. с. Q1. Аналогично вычисляются Q2, Q3, . . ., Qs.

Размерность О. с. зависит от размерности обобщённой координаты. Если qi имеет длины, то Qi - размерность обычной силы; если qi - угол, то Qi имеет размерность момента силы, и т. д. При изучении движения механич. системы О. с, входят вместо обычных сил в Лагранжа уравнения механики, а при равновесии все О. с. равны нулю.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

Смотреть что такое "ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ" в других словарях:

Величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механической системы её положение определяется обобщёнными координатами (См. Обобщённые координаты). Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при… …

В механике величины Qi, произведение к рых на элементарные при рашения dqi обобщённых координат qi механич. системы дают выражение элементарной работы бА где образован из ворса волокнистых материалов (хлопок, вискоза). Для наклейки О. обычно… … Большой энциклопедический политехнический словарь

- (США) (United States of America, USA). I. Общие сведения США государство в Северной Америке. Площадь 9,4 млн. км2. Население 216 млн. чел. (1976, оценка). Столица г. Вашингтон. В административном отношении территория США … Большая советская энциклопедия

- (ВВС СССР) Флаг советских Военно воздушных сил Годы существования … Википедия

- الإمارات العربية المتحدة‎ аль Имарат аль Арабия аль Муттахида … Википедия

Поле сил заданное в области Q конфигурационного пространства как градиент скалярной ф ции: где (обобщённые) координаты, U(q) потенциальная энергия. Работа П. с. по любому замкнутому контуру в Q, стягиваемому в точку, равна нулю. Признаком… … Физическая энциклопедия

- (ВВС) вид вооружённых сил государства, предназначенный для самостоятельных действий при решении оперативно стратегических задач и для совместных действий с другими видами вооружённых сил. По своим боевым возможностям современные ВВС… … Большая советская энциклопедия

Силы, мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянна, а перемещение M0M1 прямолинейно (рис. 1), то P. A = F․s․cosα, где s = M0M1 … Большая советская энциклопедия

Силы, мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянна, а перемещение М0М1 прямолинейно (рис. 1), то P. A = F s cosa, где s=M0M1, a угол… … Физическая энциклопедия

Механики. 1) Лагранжа уравнения 1 го рода дифференциальные ур ния движения механич. системы, к рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голономной системы,… … Физическая энциклопедия