Центр момента инерции главные оси. Оси инерции
Формулы (31.5), (32.5) и (34.5) позволяют установить, как изменяются величины моментов инерции сечения при повороте осей на произвольный угол а. Для некоторых значений угла a величины осевых моментов инерции достигают максимума и минимума. Экстремальные (максимальные и минимальные) значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции.
Из формулы (33.5) следует, что если осевой момент инерции относительно некоторой оси является максимальным (т. е. эта ось главная), то осевой момент инерции относительно перпендикулярной к ней оси является минимальным (т. е. эта ось также главная), так как сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла а.
Таким образом, главные оси инерции взаимно перпендикулярны.
Для нахождения главных моментов инерции и положения главных осей инерции определим первую производную по углу а от момента инерции [см. формулу (31.5) и рис. 19.5]:
Приравниваем этот результат нулю:
где - угол, на который надо повернуть координатные оси у чтобы они совпали с главными осями.
Сравнивая выражения (35.5) и (34.5), устанавливаем, что
Следовательно, относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю. Поэтому главными осями инерции можно называть оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.
Как уже известно, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.
Следовательно, взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции. Это правило позволяет во многих случаях непосредственно (без расчета) устанавливать положение главных осей.
Решим уравнение (35.5) относительно угла
Уравнению (36.5) в каждом конкретном случае удовлетворяет ряд значений Из них выбирается одно любое. Если оно положительно, то для определения по нему положения одной из главных осей инерции ось следует повернуть на угол против вращения часовой стрелки, а если отрицательное - то по вращению часовой стрелки; другая главная ось инерции перпендикулярна к первой. Одна из главных осей инерции является осью максимум (относительно нее осевой момент инерции сечения максимален), а другая - осью минимум (относительно нее осевой момент инерции сечения минимален).
Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (у или ), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение. Это обстоятельство позволяет легко устанавливать, какая из главных осей инерции является осью максимум, а какая - осью минимум. Так, например, если а главные оси инерции и и v расположены, как это показано на рис. 20.5, то ось и является осью максимум (так как образует с осью у меньший угол, чем с осью ), а ось v - осью минимум.
При решении конкретной числовой задачи для определения главных моментов инерции можно выбранное значение угла и значение подставить в формулу (31.5) или (32.5).
Решим эту задачу в общем виде. По формулам из тригонометрии, используя выражение (36.5), найдем
Подставив эти выражения в формулу (31.5), после простых преобразований получим
Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости сечения. Однако практическое значение для расчетов элементов конструкции имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, т. е. главные центральные инерции. Моменты инерции относительно этих осей (главные центральные моменты инерции) в дальнейшем будем обозначать
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Если то формула (34.5) дает значение центробежного момента инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, равное нулю, и, следовательно, любые оси, полученные путем поворота системы координат являются главными осями инерции (так же как оси ). В этом случае
2. Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. Действительно, направим одну из осей () по одной из осей симметрии, а другую - перпендикулярно к ней. Для этих осей Если фигура имеет более двух осей симметрии, то какая-либо из них составляет острый угол с осью . Обозначим такую ось а перпендикулярную к ней ось
Центробежный момент инерции так как ось является осью симметрии. По формуле же (34.5).
Из формул (6.22) – (6.25) следует, что при повороте осей моменты инерции изменяются, но сумма осевых моментов остается постоянной .
Следовательно, если относительно одной оси значение момента инерции будет наибольшим , то относительно другой – наименьшим . В этом случае центробежный момент относительно этих осей оказывается равным нулю .
Главными центральными осями называются оси, проходящие через центр тяжести и относительно которых центробежный момент равен нулю, а осевые моменты относительно них (осей) обладают свойствами экстремальности и называются главными центральными моментами инерции. Относительно одной главной оси момент инерции имеет наименьшее значение – , относительно другой – наибольшее .
Будем обозначать эти оси буквами u и v . Докажем приведенное утверждение. Пусть оси x и y – центральные оси несимметричного сечения (рис. 6.12).
Определим положение главных осей путем поворота центральных осей на угол , при котором центробежный момент становится равным нулю.
.
Тогда из формулы (6.25)
. (6.26)
Формула (6.26) определяет положение главных осей, где – угол, на который нужно повернуть центральные оси, чтобы они стали главными. Отрицательные углы откладываются по ходу часовой стрелки от оси x .
Теперь покажем, что относительно главных осей осевые моменты инерции обладают свойством экстремальности. Вычислим производную от выражения (формула 6.22) и приравняем ее к нулю:
(6.27)
Сравнивая выражения (6.27) с (6.25) устанавливаем, что
.
Отсюда следует, что производная обращается в нуль, когда , а это значит, что экстремальные значения имеют моменты инерции относительно главных осей u и v . Тогда по формулам (6.22) и (6.23):
(6.28)
По формулам (6.28) определяются главные центральные моменты инерции.
Если сложить почленно формулы (6.28), то, очевидно, . Если исключить из формул (6.28) угол , то получим более удобную формулу для главных центральных моментов инерции:
Знак «+» перед вторым слагаемым в (6.29) относится к , знак «-» – к .
Полезно иметь в виду частные случаи:
Если фигура имеет две оси симметрии , то эти оси являются главными центральными осями.
2. Для правильных фигур – равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.п., имеющих более двух осей симметрии, все центральные оси являются главными, а моменты инерции относительно них равны между собой.
Умение находить положение главных центральных осей и вычислять и необходимо для определения плоскости наибольшей жесткости сечения (след которой совпадает с осью ) при расчетах на изгиб (глава 7).
35. Общий порядок определения главных центральных
Моментов.
Пусть требуется найти положение главных центральных осей и вычислить относительно них моменты инерции для плоского сечения, состоящего из швеллера и полосы (рис. 6.13):
Проводят произвольную систему координат xOy .
Разбивают сечение на простые фигуры и по формулам (6.5) определяют положение центра тяжести С .
Находят моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей, используя сортамент или по формулам.
Через точку С проводят центральные оси x c и y c параллельно осям простых фигур.
Определяют моменты инерции простых фигур относительно центральных осей сечения, используя формулы параллельного переноса (6.13).
Определяют центральные моменты инерции всего сечения как сумму соответствующих моментов простых фигур, найденных в пункте 5.
Вычисляют угол по формуле (6.26) и, поворачивая оси x c и y c на угол , изображают главные оси u и v .
По формулам (6.29) вычисляют и .
Делают проверку:
б) , если ;
36) Общий прядок определения главных центральных моментов инерции. Пример:
1. Если фигура имеет две оси симметрии, то эти оси и будут ГЦО.
2. Для правельных фигур (у которых больше 2- х оссей) все оси будут главными
3. Проводим вспомогательные оси(Х’ O’ Y’)
4. Разбиваем данное сечение на простые фигуры и показываем их собственные ЦО.
5. Находим положение ГЦО по формуле(21)
6. Вычисляем значения ГЦМ по формуле (23)
· Imax + Imin = Ix + Iy
· Imax >Ix>Iy>Iminесли Ix>Iy
· Iuv = Ix-Iy/2 sin2a + Ixycos2a +0
Формула 21:Tg2a = - 2Ixy/Ix - Iy
Формула23: Imax, Imin = *
37) Изгиб. Классификация видов изгиба. Прямой и чистый изгиб. Картина деформирования балки. Нейтральный слой и ось. Основные допущения .
Изгиб – деформирование при котором в поперечном сечении возникает изгибающий момент Мх. Брус, который работает на изгиб-балка
Виды изгиба:
Чистый изгиб имеет место, если в сечении возникает только изгибающий момент
Поперечный изгиб- если одновременно с моментом возникает поперечная сила
Плоский - все нагрузки лежат в одной плоскости
Пространственный - если все нагрузки лежат в разных продольных плоскостях
Прямой - если силовая плоскость совпадает с одной из главных осей инерции
Косой - если силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных осей
В результате деформирования на участке чистого изгиба можно видеть:
Продольные волокна искривляются по дуге окружности: одни- укорачиваются, другие-удлиняются; между ними есть слой волокон, которые не меняют своей длины- нейтральный слой (н.с.), линию его пересечения с плоскостью поперечного сечения называют нейтральной осью (н.о.)
Расстояние между продольными волокнами не меняется
Поперечные сечения, оставаясь прямыми, поворачиваются на некоторый угол
Допущения:
1.Оненадавливании продольных волокон друг на друга, т.е. каждое волокно находиться в состоянии простого растяжения или сжатия, что сопровождается возникновением нормальных напряжений Ϭ
2.О справедливости гипотезы Бернули, т.е. сечения балки, плоские и нормальные к оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ее оси после деформации
ОСИ ИНЕРЦИИ
ОСИ ИНЕРЦИИ
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к.-л. точку тела и обладающие тем св-вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокруг оси, к-рая в данной точке явл. главной О. и., то тело при отсутствии внеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. Понятие о главных О. и. играет важную роль в динамике тв. тела.
Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .
ОСИ ИНЕРЦИИ
Главные - три взаимноперпендикулярные оси, проведённые через к.-н. точку тела, совпадающие сосями эллипсоида инерции тела в этой точке. Главные О. и. обладают темсвойством, что если их принять за координатные оси, то центробежные моментыинерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если одна из координатныхосей, напр. ось Ох, является для точки О главной О. и., тоцентробежные моменты инерции, в индексы к-рых входит наименование этойоси, т. е. I xy и I xz , равны нулю. Еслитвёрдое тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокругоси, к-рая в данной точке является главной О. и., то тело при отсутствиивнеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .
Смотреть что такое "ОСИ ИНЕРЦИИ" в других словарях:
Главные три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закрепленное в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Большой Энциклопедический словарь
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Энциклопедический словарь
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через какую нибудь точку тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции (См. Момент инерции) тела относительно этих осей… … Большая советская энциклопедия
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, к рые можно провести через любую точку тв. тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внеш. сил оно будет продолжать… … Естествознание. Энциклопедический словарь
главные оси инерции - Три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… … Справочник технического переводчика
главные оси инерции - три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… …
- … Википедия
Оси главные - : Смотри также: главные оси инерции главные оси (тензора) деформации … Энциклопедический словарь по металлургии
Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС … Википедия
Момент инерции скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения СИ: кг·м².… … Википедия
Книги
- Торетическая физика. Часть 3. Механика твердого тела (2-е издание) , А.А. Эйхенвальд. Третья часть данного курса теоретической физики представляет собой естественное продолжение части II: основные принципы механики применяются здесь к твердому телу, т. е. к системе…
Изменение моментов инерции при повороте осей
Считаем, что заданы моменты инерции , , сечения относительно осей x ,y.
Выберем новую систему координат x 1 y 1 c началом в той же точке O, но повернутую на угол α относительно первой. Угол α примем положительным при повороте исходной системы координат против хода часовой стрелки (рис.3.6).
Как видно из рисунка, координаты элемента dF выражаются через координаты xy следующим образом:
x 1 = x cos + y sin ; y 1 = y cos – x sin . (3.22.а)
Подставив выражения (3.22,а) в интегралы (3.18) находим:
. (3.25)
Складывая почленно выражения (3.23) и (3.24) получим
J + J = J x + J y = J p . (3.26)
Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей остается постоянной при повороте осей на любой угол и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.
Исследование зависимостей (3.23) и (3.24) на экстремум показывает, что существует такое положение двух взаимно перпендикулярных осей, при котором осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, т.е. достигают максимума и минимума, причем для одной оси момент инерции максимален, для другой минимален.
Оси, относительно которых осевые моменты инерции экстремальны (максимальны и минимальны) называются главными осями. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения называются главными центральными осями.
Чтобы найти значение угла α о, определяющего положение главных осей, исследуем на экстремум зависимость (3.23). Для этого приравняем нулю первую производную по α от J :
Сравнивая этот результат с выражением (3.25) приходим к заключению, что центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю.
Из (3.27) получим:
Подставляя α 0 в формулы (3.23) и (3.24) найдем значения главных моментов инерции:
В разделе 3.3. было отмечено, что относительно двух взаимно перпендикулярных осей, из которых хотя бы одна является осью симметрии, центробежный момент равен нулю. Следовательно, если сечение имеет ось симметрии, то это одна из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести перпендикулярно первой.
Для сечений имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей являются главными и равны между собой (круг, квадрат, равносторонний треугольник и др.)
Пример 3.2. Для заданного сечения (рис.3.7) определить положение главных центральных осей и вычислить значения главных центральных моментов инерции.
Сечение составлено из швеллера №20 и листа сечением 220 х 10 мм.
Выберем вспомогательные оси х,y. Выпишем координаты центров тяжести сечений швеллера С 1 и листа С 2 в этих осях и их площади.
Координаты центра тяжести швеллера:
x 1 = 2,07 см; y 1 = 11см; площадь сечения F 1 = 23,4 см 3 .
Размеры и другие геометрические характеристики швеллера находим по таблице сортамента.
Координаты центра тяжести листа: x 2 = 11см,
y 2 = 0,5см, площадь сечения F 2 = 22 х 1 = 22см 2 .
Проведем центральные оси швеллера и листа .
По формулам 3.4 вычисляем координаты центра тяжести всего сечения:
Здесь S 1 x = F 1 y 1 ; S 2 x = F 2 y 2 ; S 1 y = F 1 x 1 ; S 1 y = F 2 x 2 – статические моменты сечений швеллера и листа относительно осей х, y.
Через центр тяжести С всего сечения проведем оси x с и y c параллельно осям х,y.
Выпишем необходимые для дальнейшего расчета данные. Координаты центров тяжести сечений швеллера и листа в осях x c и y c:
а 1 = x 1 - x 2 = 2.07 – 6.4 = -4, 33см;
b 1 = y 1 - y 2 = 11-5, 91= 5,09 см;
а 2 = x 2 - x c = 11 – 6.4 = 4,6 см;
b 2 = y 2 – y c = 0,5 – 5,91 = - 5, 41см.
Проверим правильность определения положения центра тяжести всего сечения. Для этого определим статические моменты сечения относительно осей х с и y c . Эти статические моменты при правильном определении координат х с и y c должны быть равны нулю.
Sx c = F 1 b 1 + F 2 b 2 = 23,4 5,09 + 22 (-5,41) = 119,1 – 119,0 0;
Sy c = F 1 а 1 + F 2 а 2 = 23,4 (-4,33) + 22 4,6 = -101,3 + 101,2 .
Таким образом, координаты х с и y с центра тяжести всего сечения найдены правильно.
Моменты инерции сечения швеллера относительно собственных центральных осей х 1 и y 1 (выписываем из таблицы сортамента):
J x 1 = 1520 см 4 ; Jy 1 = 113 см 4 .
Центробежный момент инерции J x 1 y 1 = 0
(так как ось х 1 - ось симметрии и поэтому оси х 1 , y 1 – главные оси сечения швеллера).
Моменты инерции сечения листа определим по формулам (3.9) и (3.10)
Вычислим моменты инерции всего сечения относительно осей х с и y с используя формулы перехода к параллельным осям (3.19) (3.21)
Jx c = J + b 1 2 F 1 + Jx 2 + b 2 2 F 2 = 1520+ (5,09) 2 23,4 + 1,83 + (-5,41) 2 22 = 2126 + 645,7 = 2772 (см 4),
Jy c = J + a 1 2 F 1 + J + a 2 2 F 2 = 113+ (- 4,33) 2 23,4 + 887,3+ (4,6) 2 22 = 551,7 + 1352,8 = 1905 (см 4),
J X cYc = J x 1 y 1 + a 1 b 1 F 1 + J x 2 y 2 + a 2 b 2 F 2 = 0 + (-4,33) 5,09 23,4 + 0 + 4,6 (-5,41) 22 = -1063,2 (см 4).
Определим угол наклона главных центральных осей к центральным осям х с, y c:
2α 0 = 67,8 0 ; α 0 = 34 0 .
Положительный угол откладываем от оси х с против хода часовой стрелке.
2α 0 = 67,8 0 ; α 0 = 34 0 .
Положительный угол откладываем от оси х с против хода часовой стрелки.
Величины главных центральных моментов инерции определяем по формуле (3.29)
J max = 3487 см 4 ; J min = 1190 см 4 .
Для того, чтобы установить, относительно какой оси момент инерции максимален и относительно какой минимален, можно сопоставить значения моментов инерции Jx c и Jy c .
Поскольку Jx c Jy c . , то J max = J xo и J min = J yo .
Проверка.
Центробежный момент инерции всего сечения относительно главных центральных осей должен равняться нулю.
По формуле (3.25) получаем:
Следовательно, вычисления выполнены верно.
Вопросы для самоконтроля
1. Назовите геометрические характеристики сечений, которые используются в расчетах на прочность и жесткость.
2. Как определяются геометрические характеристики профилей стандартного проката (уголков, швеллеров, двутавров)?
3. Что называется статическим моментом сечения относительно оси?
4. Какую размерность имеет статический момент?
5. Как определяется статический момент сечения?
6. Как определяются координаты центра тяжести простого и сложного сечения?
7. Чему равен статический момент сечения относительно центрально оси?
8. Что называется осевым, центробежным, полярным моментом инерции?
9. Какова размерность моментов инерции?
10. Какова зависимость между осевыми и полярным моментом инерции?
11. Какие знаки могут иметь моменты инерции?
12. Чему равны моменты инерции прямоугольного сечения относительно оси, совпадающей с одной из его сторон, и относительно центральной оси, параллельной одной из его сторон?
13. Чему равен момент инерции круга и кольца относительно центральной оси?
14. Чему равны полярные моменты инерции круга и кольца относительно их центров?
15. Чему равны моменты инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание, и относительно центральной оси, параллельной основанию?
16. Как определяются моменты инерции сложного сечения?
17. Какова зависимость между осевыми и центробежными моментами для параллельных осей?
18. Как меняются осевые и центробежный моменты инерции при повороте осей?
19. Как меняется сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при их повороте?
20. Какие оси называются главными осями и главными центральными осями инерции?
21. Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей?
22. Какова особенность главных моментов инерции?
23. В каких случаях без вычислений можно установить положение главных осей инерции?
24. По какой формуле определяется положение главных осей инерции?
25. По каким формулам определяются значения главных моментов инерции?
26. Какие оси являются главными центральными у сечений, имеющих более двух осей симметрии?
27. Какова последовательность определения значений главных центральных моментов инерции сложного сечения?
28. Как можно проверить правильность решения задачи по определению положения главных центральных осей инерции и моментов инерции относительно этих осей?
29. Как можно проверить правильность решения, задачи по определению координат центра тяжести сложного сечения?
Литература
1. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов [Текст]: Учеб. для вузов/ В.И.Феодосьев.- 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. - 592 е.: ил.; 22 см. - 3000 экз. - ISBN 5-7038-1340-9.
2. Степин П.А. Сопротивление материалов [Текст]: Учебник 11-е изд., стер. - СПб.: изд. "Лань", 2010-320 е.: ил. - 1500 экз. - ISBN 978-5-8114-1038-5.
3. Кривошапко С.Н. Сопротивление материалов: Учебник для бакалавров - М: Изд-во Юрайт, 2012.-413с.: ил. - 1000 экз. ISBN 978-5-9916-1515-0.
4. Ахметзянов М.Х., Лазарев И.Б. Сопротивление материалов: учебник/ М.Х. Ахметзянов, И.Б. Лазарев. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во Юрайт. 2011. - 300с.-1000 экз. ISBN 978-5-9916-1253-1.
5. Молотников В.Я. Курс сопротивления материалов: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во "Лань", 2006. - 384 е.: ил. - 2000 экз. ISBN 5-8114-0649-5.
6. Сопротивление материалов: Лабораторный практикум. (Рекомендовано учебно- методическим объединением по образованию в области металлургии в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений)/ Авдеев В.И., Кравченко О.Ф., Кравченко Н.В. Старый Оскол: ООО "ТНТ", 2007. - 108 с.
Для заметок
Из формул (6.29) - (6.31) видно, что при повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями , а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения .
Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I 1 и I 2 причем I 1 > I 2 . Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.
Предположим, что оси u и v главные. Тогда
|
|
.Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от I u по α и приравняем ее нулю:
.
К тому же результату приводит и условие dI v /d α . Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.
Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:
|
|
.Знак плюс перед радикалом соответствует большему I 1 , а знак минус - меньшему I 2 из моментов инерции сечения.
Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (I yz =0), а I y =I z . Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции I uv =0, а осевые I u = I v .
Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: I u = I v = I y = I z . Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.
Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.
