Векторные и аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме Равновесие пространственной системы сил уравнение равновесия

Векторные условия равновесия произвольной системы сил: для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю . Иначе: для того чтобы ~0, необходимы и достаточны условия:

,
или
,
. (19)

Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме

Для равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю .

. (20)

Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из трех прямоугольных осей координат были равны нулю :

;
;
, (21)

В случае плоской системы сходящихся сил одну из осей координат, обычно
, выбирают перпендикулярной силам, а две другие оси – соответственно в плоскости сил. Для равновесия плоской системы сходящихся сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных координатных осей, лежащих в плоскости сил, были равны нулю:

;
, (22)

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил

Направим ось
параллельно силам:для равновесия пространственной системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, перпендикулярных силам, также были равны нулю :

Условия равновесия плоской системы сил

Расположим оси
и
в плоскости действия сил.

Условия равновесия плоской системы сил в первой форме: для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю :

(24)

Для равновесия плоской системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма сил была равна нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости сил, также была равна нулю:

(25)

Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия): для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю :

Третья форма условий равновесия: для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю , т.е.

Рассмотрим произвольную пространственную систему сил, дей­ствующих на твердое тело. Приведем эту систему сил к заданному цен­тру и остановимся на том случае, когда главный вектор и главный мо­мент данной системы сил равны нулю, т.е.

(1) Такая система сил эквивалентна нулю, т.е. уравновешена. Сле­довательно, равенства (1) являются достаточными условиями равнове­сия. Но эти условия также и необходимы, т.е. если система сил нахо­дится в равновесии, то равенства (1) также выполняются.В самом деле, если бы система находилась в равновесии, но, например то данная система привилась бы к равнодействующей в центре приведения и равновесия не было бы. Если бы но Мо =**О, данная система привилась бы к паре и равновесия также не было пара не могут уравновесить друг друга. Таким образом, мы доказали, что для равновесия произвольной пространственной системы сил необ­ходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведенияравнялись нулю. Условия (1) называются условиями равновесия в векторной форме. Для получения более удобной для практических целей аналити­ческой формы условий равновесия спроецируем равенства (1) на оси декартовой системы координат. В результате получим:

(2)условия равновесия системы параллельных сил в пространстве Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси ко­ординат х, у и z, а также сумма моментов всех сил относительно этих же осей равнялись нулю.Пусть на твердое тело действует пространственная система па­раллельных сил. Так как выбор осей произволен, можно выбрать систе­му координат так, чтобы одна из осей была параллельна силам, а две

другие им перпендикулярны (рис. 1.38). При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси z всегда будут равны ну­лю. Это означает,что

Эти равенства тождественно выполняются, независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет, т.е. перестают быть условиями рав­новесия. Поэтому в качестве условий равновесия останутся следующие:

Таким образом, для равновесия системы параллельных сил в пространстве необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы сулима их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпен­дикулярных силам, также равнялись нулю.

17,Теорема об эквивалентности 2ух пар сил а пространстве.

Приведение силы к заданному центру (метод Пуансо) – силу можно перенести параллельно самой себе в любую точку плоскости, если добавить соответствующую пару сил, момент которой равен моменту этой силы относительно рассматриваемой точки. Добавим к системе в точке A две силы, равные по величине между собой и величине заданной силы, направленные по одной прямой в противоположные стороны и параллельные заданной силе: Кинематическое состояние не изменилось (аксиома о присоединении). Исходная сила и одна из добавленных сил противоположно направленная образуют пару сил. Момент этой пары численно равен моменту исходной силы относительно центра приведения. Во многих случаях пару сил удобно изображать дуговой стрелкой. Приведение плоской произвольной системы сил к заданному центру – выбираем произвольную точку на плоскости и каждую из сил переносим по методу Пуансо в эту точку. Вместо исходной произвольной системы получим сходящуюся систему сил и систему пар. Сходящаяся система сил приводится к одной силе, приложенной в центре приведения, которая ранее называлась равнодействующей, но теперь эта сила не заменяет исходную систему сил, поскольку после приведения возникла система пар. Система пар приводится к одной паре (теорема о сложении пар), момент которой равен алгебраической сумме моментов исходных сил относительно центра приведения. В общем случае плоская произвольная система сил приводится к одной силе, называемой главным вектором и к паре с моментом, равным главному моменту всех сил системы относительно центра приведения: - главный вектор, - главный момент. A. A. Условием равновесия плоской произвольной системы сил является одновременное обращение главного вектора и главного момента системы в ноль: Уравнения равновесия (I форма) получаются в виде системы трех уравнений из условий равновесия с использованием выражений для проекций главного вектора: Существуют еще две формы уравнений Равновесия (II и III формы)

17.

27-28.зависимость между главными моментами сил относительно двух произвольно выбранных центров приведения. Инварианты системы сил

Пусть пространственная система сия приведена к центру О, т.е.

где Главный момент образует с направлением главного вектора не­который Угол а (рис 1.32)

Возьмем теперь новый центр приведения О1 и приведем все си­лы к этому центру. В результате снова получим главный вектор, равный главному вектору R, и новый главный момент, определяемый формулой где pк - радиус-вектор точки приложения силы Fk, проведенный из но­вого центра приведения О1 (см. рис. 1.32).Главный момент Мо1 относительно нового центра приведенияизменился и теперь образует с направлением главного вектора R неко­торый угол а1. Установим связь между моментами Мо и Мо1 .Из рисунка 1.32 видно, что (3) Подставляя (3) в равенство (2), получим (4)Далее, раскрывая скобки в правой части равенства (4) и вынося общий множитель О1О за знак суммы, имеем

( - проекции главного момента относительно точки О на координатные оси).

Приведение силы к заданному центру.

Чтобы привести силу, приложенную в какой-либо точке твердого тела к заданному центру необходимо:

1)Перенести силу параллельно самой себе в заданный центр не изменяя модуля силы.

2)В заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту переносимой силы относительно нового центра. Эту пару сил называют присоединенной парой.

Действие силы на твердое тело не изменяется при переносе ее параллельно самой себе в другую точку твердого тела, если добавить пару сил.

34.Для плоской системы параллельных сил можно составить два уравнения равновесия.если силы параллельны оси У,то уравнения равновесия имеют вид.

Второе уравнение можно составить относительно любой точки.

35 для равновесия совершенно свободного тела, на которое действует пространственная произвольная система сил, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись шесть уравнений равновесия. Если тело закреплено в одной точке, то оно имеет три степени свободы. Двигаться поступательно такое тело не может, а может только вращаться вокруг любой оси, т. е. вокруг осей координат. Для того чтобы такое тело находилось в равновесии, нужно, чтобы оно не вращалось, а для этого достаточно потребовать равенства нулю трех уравнений моментов

Итак, для того чтобы абсолютно твердое тело с одной закрепленной точкой, на которое действует произвольная пространственная система сил, находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно трех взаимно перпендикулярных осей равнялись нулю.

Три других уравнения служат для ля определения составляющих реакции шарнира в точке крепления Nx, Ny, Nz

37. Тело, имеющее две закрепленные точки, имеет одну степень свободы. Оно может вращаться только вокруг оси, проходящей через эти две закрепленные точки.Равновесие будет в том случае, если тело не будет вращаться вокруг этой оси. Поэтому для равновесия достаточно потребовать, чтобы сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно оси, проходящей через две закрепленные точки, равнялась нулю: ∑Mxx(Fi)=0

38/Система тел представляет собой несколько тел, соединенных между собой каким-то образом. Силы, действующие на тела сис­темы, делят на внешние и внутренние. Внутренними называют силы взаимодействия между телами одной и той же системы, а внешними называют силы, с которыми на тела данной систе­мы действуют тела, не входящие в нее.

Если система тел находится в равновесии, то рассматриваем равновесие каждого тела в отдельности, учитывая внутренние силы взаимодействия между телами. Если задана плоская произвольная система N тел, то для этой системы можно составить 3N уравне­ний равновесия. При решении задач на равновесие системы тел можно также рассмат­ривать равновесие как системы тел в целом, так и для любых со­четаний тел. В случае рассмотрения равновесия системы в целом внутренние силы взаимодействия между телами не учитываются на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия. Таким образом существует 2 типа нахождения равновесия систем тел…1сп В первую очередь рассматриваем всю конструкцию.а затем отсоединяем от этой системы какое-либо тело и рассм. Равновесие в нем. 2сп.Расчленяем сис-му на отдельные тела и сост.уравнение равновесия для каждого тела.

Статически определимые системы-это системы,в которых число неизвестных величин не превышает числанезависимых уравнений равновесия для данной системы сил.

Статически неопр. Системы-это системы в которых число неизвестных величин превышает число независимых уравнений равновесия для данной системы сил Kcт=R-Y где R-число реакций. Y-число независимых уравнений

41.После выхода тела из положения равновесия сила трения по­коя уменьшается и при движении ее называют силой трения скольжения, т. е. коэффициент трения скольжения несколько меньше коэффициента трения покоя. В технических расчетах принимают, что эти коэффициенты равны.С увеличением ско­рости движения для большинства материалов коэффициент тре­ния скольжения уменьшается. Коэффициент трения скольжения определяют экспериментально.

Сила трения скольжения направлена противоположно воз­можному движению тела.

Сила трения не зависит от площади соприкасающихся по­верхностей.

Максимальная сила трения пропорциональна нормальному давлению. Под нормальным давлением понимают полное давле­ние на всю площадь соприкосновения трущихся поверхностей: Fmax=fN

43.При наличии трения полная реакция шероховатой поверхно­сти отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол <р, который в случае выхода тела из равновесия достигает максимума и называется углом трения tgφ=Fmax/N Fmax=fN тогда tgφ=f

Тангенс угла трения равен коэффициенту трения.

Конусом трения называют конус, описанный полной реакци­ей R вокруг направления нормальной реакции. Если коэффи­циент трения f во всех направлениях одинаков, то конус тре­ния будет круговым

Для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая активных сил находилась внутри конуса трения или проходила по образующей конуса

30.Модуль главного вектора Ro=√Rx^2+Ry^2 где Rx= ƩFkx Ry= ƩFky (Rx,Ry проекции главного вектора на соответствующие оси координат)

Углы образованные главным вектором с соответствующей осью координат Сos(x^Ro)=Rx/Ro Сos(y^Ro)=Ry/Ro

Модуль главного момента относительно выбранного центра приведения О Mo√Mox^2+Moy^2 где Mox=∑Mx(Fk) Moy=∑My(Fk) Mox Moy-проекции главного момента относительно точки О на координатные оси)

Углы образованные главным моментом с соотв.осями координат Сos(x^Mo)=Mox/Mo Сos(y^Mo)=Moy/Mo

Если Ro не=0 Mo=0 система сил может быть заменена одной силой

Ro=0 Mo не=0 система сил заменяется парой сил

Roне=0 Mo не=0 но Ro перпендикулярноMo заменяется одной силой не проходящей через центр приведения

31.Плоская система сил. Все силы этой системы лежат в одной плоскости. Пусть, например, это будет плоскость XAY, где A произвольный центр приведения. Силы этой системы на ось AZ не проектируются и моментов относительно осей AX и AY не создают, так как лежат в плоскости XAY (п. 13). При этом выполняется равенство

Учитывая это, получим условия равновесия для плоской системы сил:

Таким образом, для равновесия твердого тела под действием плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю две суммы проекций сил на оси координат и сумма алгебраических моментов всех сил относительно любой точки плоскости.

39.распределенными называют силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности, или линии. Рас­пределенные силы характеризуются интенсивностьюq , т. е. силой, приходящейся на единицу объема, поверхности или длины ли­нии. Распределенные силы обычно заменяют сосредоточенными.

Если распределенные силы действуют в плоскости на прямую линию, то их заменяют сосредоточенной силой следующим об­разом.

Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q за­меняют сосредоточенной силой Q =qL которая приложена в середине участка. Равномерно распределенной нагрузкой назы­вают силы, имеющие одинаковые величины и направления на заданном участке тела.

Если распределенные силы изменяются по линейному закону

(по треугольнику), то сосредоточенная сила Q = qmaxL/2- прило­жена в центре тяжести треугольника, расположенного на рас­стоянии - от его основания……………….

44.Трение качения - сопротивление движению, возникающее при перекатывании тел друг по другу. Проявляется, например, между элементами подшипников качения, между шиной колеса автомобиля и дорожным полотном. Как правило, величина трения качения гораздо меньше величины трения скольжения, и потому качение является распространенным видом движения в технике.

Трение качения возникает на границе двух тел, и поэтому оно классифицируется как вид внешнего трения.

45.трение верчения. Предположим, что на горизонтальной плоскости лежит тяжелый шар, обозначим центр шара через О, а точку касания шара с плоскостью через С. Вращение шара вокруг прямой СО и называется верчением. Опыт показывает, что если момент пары, которая должна привести шар в верчение, очень мал, то шар в верчение не придет. Отсюда следует, что действие движущей пары парализуется какойто другой парой, от наличия которой и зависит трение верчения.

Один из методов расчета момента трения подшипника качения заключается в том, что момент трения делится на, так называемый, независимый от нагрузки момент M0 и зависимый от нагрузки момент M1, которые затем складываются и дают суммарный момент:

46две параллельные и направленные в одну сторону силы приводятся к одной силе – равнодействующей, приложенной в точке, делящей прямую на расстояния, обратно пропорциональные величинам сил. Последовательно складывая попарно параллельные силы приходим также к одной силе – равнодействующей R: Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то точка приложения силы (равнодействующей) по существу не определена. Если все силы повернуть на один и тот же угол и вновь провести сложение сил, то получаем другое направление линии действия равнодействующей. Точка пересечения этих двух линий действия равнодействующих может рассматриваться, как точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положения при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол. Такая точка называется центром параллельных сил. Центр параллельных сил –точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положения при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол

47Радиус-вектором точки называется вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой.

Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат (рис. 17).

Центр параллельных сил, точка, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил Fk при любом повороте всех этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол. Координаты Центр параллельных сил определяются формулами:

где xk, yk, zk - координаты точек приложения сил.

48 Центр тяжести твердого тела – точка, неизменно связанная с этим телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела при любом положении тела в пространстве. При этом поле тяжести считается однородным, т.е. силы тяжести частиц тела параллельны друг другу и сохраняют постоянную величину при любых поворотах тела. Координаты центра тяжести:

; ; , где Р=åр k , x k ,y k ,z k – координаты точек приложения сил тяжести р k . Центр тяжести – геометрическая точка и может лежать и вне пределов тела (например, кольцо). Центр тяжести плоской фигуры:

DF k – элементарная площадка, F – площадь фигуры. Если площадь нельзя разбить на несколько конечных частей, то . Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

49 Решение задач на определение положения (координат) центра тяжести однородной пластинки, системы тел находящихся на плоскости или пространстве сводится к составлению уравнений и дальнейшей подставки в него известных численных данных и вычисление результата:

Т.е. необходимо разбить систему на составляющие, найти положения центра тяжести этих составных элементов. Вычислить массу составных частей, выразив ее через удельную плотность – линейную, объемную или поверхностную, в зависимости от типа представленной системы. В конце решения удельная плотность сократиться, так что не стоит ее смущаться вводить (как правило она не дана, но в тексте задачи указывается, что пластина, стержни, плита однородны). Из особенностей этой задачи следует отметить две вещи: 1) определение центра тяжести у составляющей прямоугольной, квадратной формы или стержня, окружности не составляет труда – центр тяжести таких фигур находится по центру.

50. кругового сектора: ; Треугольник. Разбиением треугольника на тонкие линии,

параллельные каждой из его сторон, определяют, что поскольку центр

тяжести каждой линии лежит на ее геометрическом центре (в центре

симметрии), то центр тяжести треугольника лежит на пересечении его

медиан. Точка пересечения медиан делит их в соотношении (2:1).

Круговой сектор (рисунок 54). Центр тяжести лежит на оси

симметрии. Разбиением кругового сектора на элементарные треугольники

определяют дугу, образованную центрами тяжести треугольников. Радиус

дуги равен 2/3 радиуса сектора. Таким образом, координата центра

тяжести кругового сектора определяется

выражением xC = sin α .

51Полушар. Центр тяжести лежит на оси симметрии на расстоянии

3/8 от основания.

Пирамида (конус) (рисунок 55).

Центр тяжести лежит на линии,

соединяющей вершину с центром

тяжести основания на расстоянии ¾ от

Дуга окружности Центр тяжести лежит на оси симметрии и имеет

координаты xC = sin α ; уС = 0 .

Кинематика

1Кинематика , раздел теоретической механики, изучает движение материальных тел не интересуясь причинами, вызывающих или изменяющих это движение. Для нее важны лишь физическая обоснованность и математическая строгость в рамках принятых моделей Задачи кинематики Задать движение материальной точки (системы)- это значит дать способ определения положения точки (всех точек, образующих систему) в любой момент времени.
Задачи кинематики состоят в разработке способов задания движения точки (системы) и методов определения скорости, ускорения точки и других кинематических величин точек, составляющих механическую систему. траектория точки

Задать движение точки означает задать ее положение в каждый момент времени. Положение это должно определяться, как уже отмечалось, в какой-либо системе координат. Однако для этого не обязательно всегда задавать сами координаты; можно использовать величины, так или иначе с ними связанные. Ниже описаны три основных способа задания движения точки.

1. Естественный способ. Этим способом пользуются, если известна траектория движения точки. Траекторией называется совокупность точек пространства, через которые проходит движущаяся материальная частица. Это линия, которую она вычерчивает в пространстве. При естественном способе необходимо задать (рис. 1):

а) траекторию движения (относительно какой-либо системы координат);

б) произвольную точку на ней нуль, от которого отсчитывают расстояние S до движущейся частицы вдоль траектории;

в) положительное направление отсчета S (при смещении точки М в противоположном направлении S отрицательно);

г) начало отсчета времени t;

д) функцию S(t), которая называется законом движения**) точки.

2. Координатный способ. Это наиболее универсальный и исчерпывающий способ описания движения. Он предполагает задание:

а) системы координат (не обязательно декартовой) q1, q2, q3;

б) начало отсчета времени t;

в) закона движения точки, т.е. функций q1(t), q2(t), q3(t).

Говоря о координатах точки, мы всегда будем иметь в виду (если не оговорено противное) ее декартовы координаты.

3. Векторный способ. Положение точки в пространстве может быть определено также и радиус-вектором, проведенным из некоторого начала в данную точку (рис. 2). В этом случае для описания движения необходимо задать:

а) начало отсчета радиус-вектора r;

б) начало отсчета времени t;

в) закон движения точки r(t).

Поскольку задание одной векторной величины r эквивалентно заданию трех ее проекций x, y, z на оси координат, от векторного способа легко перейти к координатному. Если ввести единичные векторы i, j, k (i = j = k = 1), направленные соответственно вдоль осей x, y и z (рис. 2), то, очевидно, закон движения может быть представлен в виде*)

r(t) = x(t)i +y(t)j+z(t)k. (1)

Преимущество векторной формы записи перед координатной в компактности (вместо трех величин оперируют с одной) и часто в большей наглядности.

Пример. На неподвижную проволочную полуокружность надето маленькое колечко М, через которое проходит еще прямолинейный прут АВ (рис. 3), равномерно вращающийся вокруг точки А (= t, где =const). Найти законы движения колечка М вдоль стержня АВ и относительно полуокружности.

Для решения первой части задачи воспользуемся координатным способом, направив ось х декартовой системы вдоль стержня и выбрав ее начало в точке А. Поскольку вписанный АМС прямой (как опирающийся на диаметр),

x(t) = AM = 2Rcos = 2Rcoswt,

где R радиус полуокружности. Полученный закон движения называется гармоническим колебанием (колебание это будет продолжаться, очевидно, лишь до того момента, пока колечко не дойдет до точки А).

Вторую часть задачи будем решать, используя естественный способ. Выберем положительное направление отсчета расстояния вдоль траектории (полуокружности АС) против часовой стрелки (рис. 3), а нуль совпадающим с точкой С. Тогда длина дуги СМ как функция времени даст закон движения точки М

S(t) = R2 = 2R t,

т.е. колечко будет равномерно двигаться по окружности радиусом R с угловой скоростью 2 . Как явствует из проведенного рассмотрения,

нуль отсчета времени в обоих случаях соответствовал моменту, когда колечко находилось в точке С.

2.Векторный способ задания движения точки

Скорость точки направлена по касательной к траектории (рис. 2.1) и вычисляется, согласно (1.2), по формуле

Условие равновесия пространственной си­стемы сходящихся сил : алгебраическая сум­ма проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные оси координат должны быть равны нулю, т.е.

Для того чтобы найти момент силы относительно оси z, надо спроектировать силу на плоскость Н перпендикулярную оси z (рис. 12), затем найти момент проекции F н относительно точки О, которая является точкой пересечения плоскости Н сосью z. Момент проекции F н и будет являться моментом силы относительно оси z:

Пространственной системой произвольно расположенных сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости и не пересекаются в одной точке. Равнодействующая такой системы сил также равна геометрической сумме этих сил, но изображается диагональю сложных объемных фигур (тетраэдр, октаэдр и т.д.).

Условие равновесия пространственной сис­темы произвольно расположенных сил: алгебраическая сумма проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные оси ко­ординат должна быть равна нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно тех же осей координат должна быть равна нулю, т.е.

Трение

Трением называется сопротивление движению тела. Сила, с которой тело сопротивляется движению, называется силой трения.

Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную дви­жению. Сила трения зависит от материала трущихся тел, чистоты обработки и наличия смазки и не зависит от величины трущихся поверхностей.

Трение бывает: сухое, полужидкостное, жидкостное.

Различают трение покоя, движения, скольжения и качения. Сила трения покоя больше, чем сила трения движения.

Сила трения равна произведению силы нормального давления на коэф­фициент трения скольжения (рис. 14):

F тр =R n ƒ,

где R n = mg cos a - сила нормального давления;

ƒ - коэффициент трения скольжения.

Коэффициентом трения скольжения называется от­ношение силы трения к силе нормального давления:

Материалы, обладающие очень малым трением, называются антифрикционными (баббит, бронза, графит).Применяются для изготовления подшипников и др.

Материалы, обладающие большим трением, на­зываются фрикционными (специальные пластмассы с применением асбеста и меди). Применяются для накладок тормозных колодок, для накладок дисков сцепления.

При смазке поверхности скольжения тело начи­нает двигаться с меньшим трением.

Разложим силу тяжести G на составляющие G ’ и G " (рис.15)

Составим уравнение равновесия:

где h - расстояние от поверхности до линии действия силы;

k - коэффициент трения качения. Он равен отрезку ОС(см. рис16)

F дв = F тр,

F тр =R п k/h

Если h = d,

F тр =R п k/d

если h = г,

F тр =R п k/d

Теорема. Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю. Достаточность : при F o =0 система сходящихся сил, приложенных в центре при­ведения О, эквивалентна нулю, а при М о =0 система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквива­лентна нулю. Необходимость: Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заметим, что система сил Q и Р (рис. 4.4) должна быть эк­вивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны иметь общую линию действия и должно выполняться рав-во Q=–Р. Но это может быть, если линия действия силы Р проходит через точку О, т. е. если h=0. А это значит, что главный момент равен нулю (М о =0). Т.к. Q+Р=0, a Q=F o +P", то F o +P"+P=0, и, следовательно, F o = 0. Необх и дост усл равнов про­странственной сист сил им вид: F o =0, M o =0 (4.15),

или, в проекциях на координатные оси, Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+М ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy (F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, М oz =åМ О z (F k)=М О z (F 1)+M oz (F 2)+...+М oz (F n)=0. (4.17)

Т.о. при решении задач имея 6 ур-ий можно найти 6 неизвестных. Замечание: пару сил нельзя привести к равнодействующей. Частные случаи: 1) Равновесие пространственной системы параллельных сил. Пусть ось Z параллельна линиям действ силы (рис 4.6), тогда проекции сил на x и y равны 0 (F kx =0 и F ky =0), а остаётся только F oz . А что касается моментов, то остаются только M ox и M oy , а M oz отсутствует. 2) Равновесие плоской системы сил. Остаются ур-я F ox , F oy и момент M oz (рис 4.7). 3) Равновесие плоской системы параллельных сил. (рис. 4.8). Остаются только 2 ур-я: F oy и M oz .При составлении ур-ий равновесия за центр привидения может быть выбрана любая точка.

О R = 0 и M R x = R y = R z = 0 и M x = M y = M

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

Произвольную простран­ственную систему сил, как и плос­кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од­ной результирующей силой и парой с моментом. Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно былоR = 0 и M о = 0. Но векторы имогут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когдаR x = R y = R z = 0 и M x = M y = M z = 0 или, когда дей­ствующие силы удовлетворяют условиям

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

Принципы решения задач на равновесие тела под действием пространственной системы сил.

Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассма­тривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.

Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).

Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.

В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматри­ваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруд­нения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, реко­мендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные состав­ляющие (из которых одна парал­лельна какой-нибудь координат­ной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.

Пример 5.

Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС . На краю рамы находится груз весом Р . Опреде­лим реакции шарнира и усилие в стержне.

Рис.45

Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.

Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р . Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.

Жела­тельно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неиз­вестной силе.

В нашей задаче это точка А , где приложены неизвестные и; точкаС , где пересекаются линии действия неизвестных сил и; точкаD – точка пересечения линий действия сил и. Со­ставим уравнение проекций сил на осьу (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС ).

И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное заме­чание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекоменду­ется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две:и(рис.37) такие, что модули их

Составляем уравнения:

Из второго уравнения находим . Из третьегоИ из первого

Так как получилось S <0, то стержень ВС будет сжат.