Моменты инерции выражаются в. Определение момента инерции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

Школа естественных наук

Определение моментов инерции тел вращения

методом крутильных колебаний. Проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера.

Учебно-методическое пособие

к лабораторной работе № 1.3

Владивосток

УДК53(о76.5)

Определение моментов инерции тел вращения

методом крутильных колебаний. Проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера.

Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 1.3 по дисциплине «физический практикум»// сост. В.Е.Полищук, Р.Ф.Полищук. – Владивосток: Издательский дом Дальневост. федерал. ун-та, 2013-с.12.

Пособие, подготовленное на кафедре общей физики Школы естественных наук ДВФУ, содержит методические указания к выполнению лабораторной работы по механике с целью экспериментального изучения момента инерции твердых тел вращения и проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Для студентов ДВФУ всех специальностей.

УДК 53(076.5)

Составители Полищук В.Е.

Полищук Р.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет» (ДВФУ)

Школа естественных наук

Определение моментов инерции тел вращения методом крутильных колебаний.

Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 1.3

По дисциплине «физический практикум»

Владивосток

Издательский дом Дальневосточного федерального университета

Целью данной лабораторной работы является изучение законов ди­намики вращательного движения твердого тела, экспериментальное измере­ние момента инерции простейших тел вращения и проверка теоремы Гюй­генса-Штейнера.

Основные понятия вращательного движения твердого тела .

Кроме понятия материальной точки, в механике используется модель­ное понятие абсолютно твердого тела – тела, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Такое тело можно рассматривать как систему жестко закрепленных материальных точек.

Любое сложное движение твердого тела всегда можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное. Поступательным называ­ется такое движение твердого тела, при кото­ром любая прямая, проведенная через любые две точки тела, остается парал­лельной самой себе во все время движения (рис.1). При таком движении все точки твердого тела движутся совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движения, совершают одинаковые пе­ремещения и проходят одинаковый путь. Следовательно, поступательное движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки, масса которой равна массе тела m и применять к нему второй закон Ньютона динамики материальной точки, т.е.

где - результирующая всех внешних сил, действующих на тело, - им­пульс (количество движения) тела.

Вращательным движением твердого тела называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения тела. При вращательном движении все точки тела движутся с одной и той же угловой скоростью и уг­ловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения. Однако, как показывает опыт, при вращательном движении твердого тела вокруг за­крепленной оси, масса уже не является мерой его инертности, а сила – недо­статочна для характеристики внешнего воздействия. Кроме того, опыты по­казывают, что ускорение при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения; зависит не только от силы, но и от точки ее приложения и направления действия. По­этому, для описания вращательного движения твердого тела введены новые динамические характеристики такие, как момент силы, момент импульса и момент инерции тела . При этом следует иметь в виду, что существует два разных понятия этих величин: относительно оси и относительно любой точки О (полюса, начала), взятой на этой оси.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называ­ется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора проведённого из точки О в точку приложения результирующей силы , на вектор этой силы:

Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой распо­ложены вектора и , а его направление относительно этой плоскости определяется правилом векторного произведения или правилом буравчика. Согласно правила век-торного произведения, вектор направлен перпендику­лярно к плоскости, содержащей векторы и , в такую сторону, чтобы при рассматривании с его конца вектор мог быть совмещен с векто­ром путем вращения против часовой стрелки в сторону меньшего угла. Со­гласно правила правого буравчика (рис.2), при вращении его ручки в направ­лении от к в направлении меньшего угла a, поступательное движение буравчика определит направление вектора

При применении этих правил удобно начала векторов и совместить в одной точке. Можно, например, перенести вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом вектора в точке 0 (на рис.2 этот вектор изображен пунктиром).

Вектора, направление которых связывают с направлением вращения (угловая скорость, угловое ускорение, момент силы, момент импульса и т.п.), называют псевдовекторами или аксиальными в отличие отобычных векто­ров (скорость, радиус-вектор, ускорение и т.п.), которые называют поляр­ными или истинными.

Величина вектора момента силы (численное значение момента силы) определяется согласно формуле векторного произведения (2), т.е. , где a - угол между направлениями векторов и . Вели­чина p= r·Sinα называется плечом силы (рис.2).Плечо силы р - это кратчай­шее расстояние от точки О до линии действия силы .

Моментом силы относительно оси , называется проекция на эту ось вектора момента силы, найденного относительно любой точки, принадлежа­щей этой оси. Ясно, что относительно оси момент силы является скалярной величиной. В системе СИ момент силы измеряется в Н·м. Для введения понятия момента импульса тела, введем сначала это по­нятие для материальной точки, принадлежащей вращающемуся твердому телу.

Моментом импульса материальной точки Δ m i относительно не­подвижной точки О называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки О в точку нахождения массы Δm i , на вектор импульса этой материаль­ной точки:

где - импульс материальной точки.

Моментом импульса твердого тела (или механической системы) относительно неподвижной точки О называется вектор , равный геомет­рической сумме моментов импульса относительно этой же точки О всех материальных точек данного тела, т.е. .

Моментом импульса твердого тела относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса тела относительно любой точки, выбранной на данной оси. Совершенно очевидно, в этом случае мо­мент импульса является скалярной величиной. В системе СИ момент им­пульса измеряется в .

Мерой инертности тел при поступательном движении является их масса. Инертность же тел при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вра­щения. Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции тела I относительно оси вращения или точки. Момент инер­ции, как и масса, величина аддитивная, скалярная.

Моментом инерции тела относительно оси вращения называется физическая скалярная величина, равная сумме произведений масс матери­альных точек (на которые можно разбить все тело) на квадратырасстояний каждой из них до оси вращения:

где I -момент инерции материальной точки.

Моментом инерции тела относительно точки О называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой материальной точки данного тела на квадрат ее расстояния до точки О. Рас­четная формула момента инерции аналогична формуле (4). В системе СИ момент инерции измеряется в кг·м 2 .

Момент инерции твердого тела зависит от массы тела, формы и раз­мера тела.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела .

Каждая из материальных точек вращающегося твердого тела будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а центры всех этих окружностей будут лежать на этой оси. При этом все точки тела в данный момент времени имеют одинако­вую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение.

Рассмотрим i-материальную точку, масса которой Δm i , а радиус окружности, по которой она движется, r i . На нее действуют как внешние силы со стороны других тел, так и внутренние силы - со стороны других материальных точек, принадлежащих этому же телу. Разложим результирующую силу , действующую на матери­альную точку массы Δm i , на две взаимно перпендикулярные состав­ляющие силыи , причем так, чтобы вектор силы совпадал по направ­лению с касательной к траектории движения частицы, а сила - пер­пендикулярна к этой касательной (Рис.3). Совершенно очевидно, что враще­ние данной материальной точки обусловлено только касательной составля­ющей силы , величину которой можно представить в виде суммы внутрен­ней и внешней сил. В этом случае для материальной точки Δm i второй закон Ньютона в скалярном виде будет иметь вид:

(5)

С учетом того, что при вращательном движении твердого тела вокруг оси, линейные скорости движения материальных точек по круговым траекто­риям различны по величине и направлению, а угловые скорости w для всех этих точек одинаковы (и по величине и направлению), заменим в уравнении (5) линейную скорость на угловую (v i =wr i):

. (6)

Введем в уравнение (6) момент силы, действующей на частицу. Для этого умножим левую и правую части уравнения (6) на радиус r i , который по от­ношению к результирующей силе является плечом:

(7)

Тогда получим:

где каждый член в правой части уравнения (8) есть момент соответствующей силы относительно оси вращения. Если в это уравнение ввести угловое уско­рение вращения материальной точки массы Δm i относительно оси (=) и ее момент инерции ΔI i относительно этой же оси(=ΔI i), то уравнение вращательного движения материальной точки относительно оси примет вид:

Аналогичные уравнения можно записать для всех других материальных точек, входящих в данное твердое тело. Найдем сумму этих уравнений с учетом того, что величина углового ускорения для всех материальных то­чек данного вращающегося тела будет одинаковой, получим:

Суммарный момент внутренних сил равен нулю, так как каждая внут­ренняя сила, согласно третьему закону Ньютона, имеет равную по вели­чине, но противоположно направленную себе силу, приложенную к другой материальной точке тела, с таким же плечом. Суммарный момент – есть вращающий момент М всех внешних сил, действующих на вращающе­еся тело. Сумма моментов инерции =I определяет момент инерции дан­ного тела относительно оси вращения. После подстановки указанных вели­чин в уравнение (10) окончательно получим:

Уравнение (11) называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно оси. Так как =, а момент инерции тела относительно данной оси вращения является постоянной величиной и, следовательно, его можно внести под знак дифференциала, то уравнение (11) можно записать в виде:

Величина Iw=L (13)

называется моментом импульса тела относительно оси. C учетом (13) урав­нение (12) можно записать в виде:

Уравнения (11-14) носят скалярный характер, и применяются только для описания вращательного движения тел относительно оси. При описании вращательного движения тел относительно точки (или полюса, или начала) , принадлежащей данной оси, указанные уравнения соответственно записываются в векторном виде:

(11 *); (12 *); (13 *); (14 *).

При сравнении уравнений поступательного (1) и вращательного (11-14) движений тела видно, что при вращательном движении вместо силы в урав­нениях стоит ее момент, вместо массы тела – момент его инерции, вместо импульса (или количества движения) – момент импульса (или момент коли­чества движения).

Из уравнений (14) и (14 *) следует, соответственно, уравнение моментов относительно оси и относительно точки:

dL=Mdt (15); (15 *) .

Согласно уравнению моментов относительно оси (15) – изменение мо­мента импульса тела dL относительно неподвижной оси равно моменту им­пульса внешней силы Mdt, действующей на тело относительно этой же оси. Относительно точки уравнение моментов (15 *) формулируется: изменение вектора момента импульса относительно точки равно импульсу момента вектора силы, действующего на тело, относительно этой же точки.

Из уравнений (15) и (15 *) вытекает закон сохранения момента им­пульса твердого тела как относительно оси, так и относительно точки. Из уравнения (15) следует: если суммарный момент всех внешних сил М отно­сительно оси равен нулю (M=0, следовательно и dL=0), то момент импульса этого тела относительно оси его вращения остается постоянной величиной (L=Const).

Относительно точки: если суммарный вектор момента всех внешних сил относительно точки вращения О остается неизменным, то вектор мо­мента импульса этого тела относительно этой же точки О остается постоян­ным.

В данной лабораторной работе определяются моменты инерции для про­стейших тел вращения. Под телом вращения понимается объемное тело, возникающее при вращении плоской фигуры, ограниченной произвольной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Тело вращения всегда имеет ось симметрии. Простейшими примерами тел вращения являются:

шар – образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза;

цилинд р – образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из его сторон;

конус – образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг од­ного из его катетов и т.п.

В рассматриваемой лабораторной работе методом крутильных колеба­ний определяются моменты инерции для тел: сферы, диска, стержня, полого и сплошного цилиндров. Кроме того, экспериментально проверя­ется теорема Гюйгенса-Штейнера. Эта теорема позволяет определить момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр массы тела, если известен момент инерции данного тела относительно оси прохо­дящей через центр масс и параллельной относительно искомой оси.

Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции тела относительно лю­бой оси, не проходящей через центр массы данного тела, равен моменту инерции этого тела относительно оси, проходящей через его центр массы и параллельной первой оси, плюс произведение массы данного тела на квадрат расстояния между этими осями: I = I o + mɑ 2 , где I – момент инерции тела от­носительно искомой оси, (не проходящей через центр массы тела), Iо мо­мент инерции тела относительно оси проходящей через центр массы и параллельной первой оси, m- масса тела, ɑ - расстояние между осями.

Вывод рабочей формулы для расчета момента инерции тел враще­ния методом крутильных колебаний.

Крутильный маятник в данной работе состоит из спиральной пружины, закрепленной в штативе. С пружиной жестко скреплена ось, свободно вра­щающаяся в штативе. На ось крепится тело, момент инерции которого опре­деляется. Если эту систему вывести из положения равновесия, повернув тело на некоторый угол φ и отпустить, то возникнут крутильные колебания тела. При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент силы, приостанавливающий отклонение тела от состояния равновесия, а затем со­общающий телу обратное движение. Возвращающий момент силы М обусловлен упругими силами, возникающими в спиральной пружине.

Как показывают эксперименты, в области упругих деформаций круче­ния, угол поворота спиральной пружины прямо пропорционален проекции момента силы М на ось вращения z (М z), т.е.

М z = - G·φ (16).

Коэффициент пропорциональности G называется угловым коэффициентом упругости спиральной пружины. Из уравнения (11) следует: М z = I z ·, где = - угловое ускорение, I z – момент инерции тела относительно вращающейся оси установки. Следовательно,

М z = I z · (17).

Из (16) и (17) следует равенство: I z · = - G·φ. Или

Уравнение (17) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, которое можно переписать в следующем виде

+ω 2 φ = 0, (19)

где ω 2 = (20)

Уравнение (18) соответствует гармоническому осциллятору и описывает его гармонические колебания, в данном случае колебания углового смещения маятника относительно его положения равновесия. Из решения дифференциального уравнения (18) следует, что колебания крутильного маятника яв­ляются гармоническими φ = φ о ·Sin(ω·t +α), где φ о – амплитуда углового сме­щения, равная начальному угловому отклонению маятника, а ω- цикличе­ская частота колебаний, которая связана с периодом колебаний соотношением

Из уравнений (20) и (21) вытекает рабочая формула эксперименталь­ного определения момента инерции I z для предложенных тел вращения и проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера:

I z =I= , (22)

Подготовка и выполнение лабораторной работы.

Рис.4 Общий вид экспериментальной установки и исследуемых тел.

Как видно из рабочей формулы (22) основными параметрами при экспе­риментальном определении моментов инерции указанных выше тел, яв­ляется период колебаний тела Т и угловой коэффициент упругости спиральной пружины G. В данной лабораторной работе угловой коэффициент экспериментально уже определен по методике, описанной на стр.12 и имеет значение

Измерение моментов инерции тел

1. На все исследуемые тела прикрепите узкий листок бумаги, шириной не более 3 мм. (рис.5).

2. Закрепите исследуемое тело на вращающемся валу, скрепленном с пружи­ной.

3.Установите штатив с пружиной и закрепленным твердым телом так, чтобы листок находился под световым барьером (рис.5).

4. Для светового барьера выберите режим измерений .

5. Отклоните исследуемое тело от положения равновесия приблизительно на 90 о и отпустите его, предварительно нажав на кнопку «Set» датчика светового барьера. Световой барьер измерит промежуток времени, равный периоду колебаний системы.

6. Для проведения повторных измерений сбросьте показания счетчика свето­вого барьера, нажав на кнопку «Set». Через последующий цикл колебатель­ного движения датчик вновь покажет значение периода колебаний системы.

7. Для каждого исследуемого тела сделать 5-7 измерений периода колебаний. По формуле (22) рассчитать моменты инерции исследуемых тел, Для каждого тела данные измерений заносить в отдельную таблицу. Определить средние значения и довери­тельный интервал для каждого исследованного тела. При расчете моментов инерции тел использовать (предварительно экспериментально найденную) величину углового коэффициента упругости спиральной пружины, равной: G =0,0241±0,0009 Н·М/РАД.

Таблица № 1. Определение момента инерции однородного цилиндра.

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы : определить момент инерции физического маятника в виде стержня с грузами по периоду собственных колебаний.

Оборудование : маятник, секундомер.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Момент инерции твердого тела – это мера инертности тела при его вращательном движении. В этом смысле он является аналогом массы тела, которая является мерой инертности тела при поступательном движении. Согласно определению, момент инерции тела равен сумме произведений масс частиц тела m i на квадраты их расстояний до оси вращения r i 2:

, или .(1)

Момент инерции зависит не только от массы, но и от ее распределения относительно оси вращения. Как видно, инертность при вращении тела тем больше, чем дальше от оси расположены частицы тела.

Существуют различные экспериментальные методы определения момента инерции тел. В работе предлагается метод определения момента инерции по периоду собственных колебаний исследуемого тела как физического маятника. Физический маятник – это тело произвольной формы, точка подвеса которого расположена выше центра тяжести. Если в поле тяжести маятник отклонить от положения равновесия и отпустить, то под действием силы тяжести маятник стремится к положению равновесия, но, достигнув его, по инерции продолжает движение и отклоняется в противоположную сторону. Затем процесс движения повторяется в обратном направлении. В итоге маятник будет совершать вращательные собственные колебания.

Для вывода формулы момента инерции маятника через период собственных колебаний применим основной закон динамики вращательного движения : угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения:

Так как угловое ускорение – это вторая производная от угла поворота по времени, то основной закон динамики вращательного движения (1) принимает вид

. (3)

Это дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением должна быть функция, превращающая при подстановке уравнение в тождество. Как видно из уравнения (3), для этого функция решения и ее вторая производная должны иметь одинаковый вид. В математике такой функцией может быть функция косинуса, синуса

a = a 0 sin(w t + j ), (4)

при условии, если циклическая частота равна . Циклическая частота связана с периодом колебаний , то есть временем одного колебания, соотношением T = 2p /w. Отсюда

Период колебаний Т и расстояние от оси вращения до центра тяжестимаятника а измерить можно. Тогда из (5) момент инерции маятника относительно оси вращения С может быть определен экспериментально по формуле

. (6)

Маятник, момент инерции которого определяется в работе, представляет собой стержень с надетыми на него двумя дисками. Теоретически момент инерции маятника можно определить как сумму моментов инерции отдельных частей. Момент инерции дисков можно рассчитать по формуле момента инерции материальной точки, так как они невелики по сравнению с расстоянием до оси вращения: , . Момент инерции стержня относительно оси, находящейся на расстоянии b от середины стержня, можно определить по теореме Штейнера . В итоге суммарный момент инерции маятника можно теоретически рассчитать по формуле

. (7)

Здесь m 1 , m 2 и m 0 – массы первого, второго дисков и стержня, l 1 , l 2 – расстояния от середин дисков до оси вращения, l 0 – длина стержня.

Расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника а , необходимое для экспериментального определения момента инерции в формуле (6), можно определить, используя понятие центра тяжести. Центр тяжести тела – это точка, к которой приложена равнодействующая сила тяжести. Поэтому если маятник положить горизонтально на опору, расположенную под центром тяжести, то маятник будет в равновесии. Затем достаточно измерить расстояние от оси С до опоры.

Но можно определить расстояние а расчетом. Из условия равновесия маятника на опоре (рис. 1б) следует, что момент результирующей силы тяжести относительно оси С (m 1 +m 2 + m 0)gа равен сумме моментов сил тяжести грузов и стержня m 1 gl 1 + m 2 gl 2 + m 0 gb . Откуда получим

. (8)

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Взвешиванием на весах определить массы дисков и стержня. Расположить на стержне и закрепить диски. Измерить расстояния от оси вращения до середин дисков l 1 , l 2 и до середины стержня b , длину стержня l 0 по сантиметровым делениям на стержне. Результаты измерений записать в табл. 1.

Таблица 1

2.Включить электронный блок в сеть 220 В.

Измерить период колебаний. Для этого отвести маятник от положения равновесия на небольшой угол и отпустить. Нажать кнопку Пуск секундомера. Чтобы измерить время t , например, десяти колебаний, следует после девятого колебания нажать кнопку Стоп. Период равен
Т = t/ 10. Записать результат в табл. 2, нажать кнопку Сброс . Опыт повторить не менее трех раз при других углах отклонения маятника.

Выключить установку.

4. Произвести расчеты в системе СИ. Определить среднее значение <Т > периода колебаний. Определить расстояние а от оси до центра тяжести маятника по формуле (8), или положить маятник на опору так, чтобы он находился в равновесии, и по делениям на стержне измерить расстояние а .

Таблица 2

5. Определить среднее экспериментальное значение момента инерции маятника <J экс > по формуле (6) по среднему значению периода колебаний <T >.

6. Определить теоретическое значение момента инерции маятника J теор по формуле (7).

7. Сделать вывод, сравнив теоретическое и экспериментальное значения момента инерции маятника. Оценить погрешность измерения D J = – J теор .

8. Записать результат в виде J эксп = < J > ±D J .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение физического маятника, объясните, почему возможны собственные колебания маятника.

2. Запишите основной закон динамики вращательного движения для физического маятника.

Описание

Момент инерции - величина, характеризующая распределения масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении.

Момент инерции тела относительно оси вращения зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело. Момент инерции элементарной (точечной) массы m i , отстоящей от оси на расстоянии r i , равен:

Момент инерции всего тела относительно оси равен:

или, для непрерывно распределенной массы:

Момент инерции всего тела сложной конфигурации обычно определяют экспериментально.

Момент инерции некоторых однородных твердых приведены в таблице 1.

Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения симметрии и теорему Штейнера. Согласно теореме Штейнера момент инерции тела относительно какой-либо оси I A равен моменту инерции тела равен инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс I C , сложенному с величиной ma 2 , где a - расстояние между осями:

I A = I C + ma 2 .

Понятием о моменте инерции широко пользуются при решении многих задач механики и техники.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -20 до 20);

Время существования (log tc от -20 до 20);

Время деградации (log td от -20 до 20);

Время оптимального проявления (log tk от -1 до 2).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

"Мягкий" супермаховик

Момент инерции - основная характеристика вращающихся механизмов. Так в маховике стремятся повысить момент инерции за счет распределения большей части массы на обод колеса, для накопления энергии. Маховики применяют для выравнивания хода машин, они присутствуют в любом автомобильном двигателе, в магнитофонах, в швейных машинах, механических ножницах, прессах, гироскопах (см. например, 104002) и т. д.

На рис. 1 приведена схема устройства «мягкого» супермаховика, предназначенного для плавного разгона машин.

«Мягкий» супермаховик

Рис. 1

1 - внешний моток ленты;

2 - промежуточные витки ленты;

3 - барабан.

Повышение или понижение скорости достигается за счет изменения инертности супермаховика с помощью перераспределения массы ленты наполнителя.

Применение эффекта

А.с. 538 800: Способ регулирования энергии ударов в кузнечно-прессовых машинах ударного действия, заключающийся в изменении момента инерции маховых масс, отличающийся тем, что с целью повышения качества обрабатываемых изделий и долговечности машин, момент инерции изменяют путем подачи или отвода жидкости во внутренние полости маховых масс.

А.с. 523 213: Способ уравновешивания сил инерции подвижных элементов машин, заключающийся в том, что уравновешиваемый элемент машины соединяют с аккумулирующим телом и приводит их во вращение, отличающийся тем, что с целью повышения эффективности уравновешивания в качестве аккумулирующего тела используют маховик с изменяемым радиусом центра масс, например, центробежный регулятор.

Силы, возникающие в процессе вращательного движения, можно использовать для ускорения некоторых технологических процессов.

Литература

1. Иродов И.Е. Основные законы механики.- М.: Высшая школа, 1985.- 248 с.

2. Физическая энциклопедия.- М.: Большая Российская энциклопедия, 1992.- Т.3.- С.206-207.

Ключевые слова

• момент инерции
• масса тела
• ось вращения

Разделы естественных наук:

В динамике поступательного движения материальной точки кроме кинематических характеристик вводились понятия силы и массы. При изучении динамики вращательного движения вводятся физические вели­чины - момент сил и момент инерции , физический смысл которых рас­кроем ниже.

Пусть некоторое тело под действием силы , приложенной в точке А , приходит во вращение вокруг оси ОО" (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – К выводу понятия момента силы

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р , опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, назы­вают плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О :

(5.1)

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы :

(5.2)

Единица момента силы - ньютон-метр (Н . м). Направление вектора момента силы находиться с помощью пра­вила правого винта .

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Момент инерции материальной точки относительно оси враще­ния - произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси :

Момент инерции тела относительно оси вращения - сумма мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело :

(5.4)

В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокуп­ность точек с малыми массами dm , момент инерции определяется интег­рированием:

, (5.5)

где r - расстояние от оси вращения до элемента массой dm .

Если тело однородно и его плотность ρ = m /V , то момент инерции тела

(5.6)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих пра­вильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, прохо­дящей через центр инерции и перпендикулярной стержню,

Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(5.8)

Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относи­тельно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

Момент инерции шара относительно диаметра

(5.10)

Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей че­рез центр инерции и перпендикулярной плоско­сти вращения. Пусть масса диска – m , а его радиус – R .

Площадь кольца (рисунок 5.2), заключенного между r и , равна .

Рисунок 5.2 – К выводу момента инерции диска

Площадь диска . При постоянной толщине кольца,

откуда или .

Тогда момент инерции диска,

Для наглядности на рисунке 5.3 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 5.3 – Моменты инерции I C некоторых однородных твердых тел.

Теорема Штейнера

Приведенные выше формулы для моментов инерции тел даны при усло­вии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует восполь­зоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J 0 отно­сительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инер­ции тела, и величины md 2:

(5.12)

где m - масса тела, d - расстояние от центра масс до выбранной оси вра­щения. Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг . м 2).

Так, момент инерции однородного стержня длиной l относительно оси, про­ходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

Рассмотрим теперь проблему определения момента инерции различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции объекта относительно оси z имеет вид

Иными словами, нужно сложить все массы, умножив каждую из них на квадрат ее расстояния до оси (x 2 i + y 2 i). Заметьте, что это верно даже для трехмерного тела, несмотря на то, что расстояние имеет такой «двумерный вид». Впрочем, в большинстве случаев мы будем ограничиваться двумерными телами.

В качестве простого примера рассмотрим стержень, вращающийся относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к нему (фиг. 19.3). Нам нужно просуммировать теперь все массы, умноженные на квадраты расстояния х (в этом случае все у — нулевые). Под суммой, разумеется, я имею в виду интеграл от х 2 , умноженный на «элементики» массы. Если мы разделим стержень на кусочки длиной dx, то соответствующий элемент массы будет пропорционален dx, а если бы dx составляло длину всего стержня, то его масса была бы равна М. Поэтому

Размерность момента инерции всегда равна массе, умноженной на квадрат длины, так что единственная существенная величина, которую мы вычислили, это множитель 1/3.

А чему будет равен момент инерции I, если ось вращения проходит через середину стержня? Чтобы найти его, нам снова нужно взять интеграл, но уже в пределах от —1/2L до +1/2L. Заметим, однако, одну особенность этого случая. Такой стержень с проходящей через центр осью можно представлять себе как два стержня с осью, проходящей через конец, причем масса каждого из них равна М/2, а длина равна L/2. Моменты инерции двух таких стержней равны друг другу и вычисляются по формуле (19.5). Поэтому момент инерции всего стержня равен

Таким образом, стержень гораздо легче крутить за середину, чем за конец.

Можно, конечно, продолжить вычисление моментов инерции других интересующих нас тел. Но поскольку такие расчеты требуют большого опыта в вычислении интегралов (что очень важно само по себе), они как таковые не представляют для нас большого интереса. Впрочем, здесь имеются некоторые очень интересные и полезные теоремы. Пусть имеется какое-то тело и мы хотим узнать его момент инерции относительно какой-то оси . Это означает, что мы хотим найти его инертность при вращении вокруг этой оси. Если мы будем двигать тело за стержень, подпирающий его центр масс так, чтобы оно не поворачивалось при вращении вокруг оси (в этом случае на него не действуют никакие моменты сил инерции, поэтому тело не будет поворачиваться, когда мы начнем двигать его), то для того, чтобы повернуть его, понадобится точно такая же сила, как если бы вся масса была сосредоточена в центре масс и момент инерции был бы просто равен I 1 = MR 2 ц.м. , где R ц.м — расстояние от центра масс до оси вращения. Однако формула эта, разумеется, неверна. Она не дает правильного момента инерции тела. Ведь в действительности при повороте тело вращается. Крутится не только центр масс (что давало бы величину I 1), само тело тоже должно поворачиваться относительно центра масс. Таким образом, к моменту инерции I 1 нужно добавить I ц — момент инерции относительно центра масс. Правильный ответ состоит в том, что момент инерции относительно любой оси равен

Эта теорема называется теоремой о параллельном переносе оси. Доказывается она очень легко. Момент инерции относительно любой оси равен сумме масс, умноженных на сумму квадратов х и у, т. е. I = Σm i (x 2 i + y 2 i). Мы сейчас сосредоточим наше внимание на х, однако все в точности можно повторить и для у. Пусть координата х есть расстояние данной частной точки от начала координат; посмотрим, однако, как все изменится, если мы будем измерять расстояние х` от центра масс вместо х от начала координат. Чтобы это выяснить, мы должны написать
x i = x` i + X ц.м.
Возводя это выражение в квадрат, находим
x 2 i = x` 2 i + 2X ц.м. x` i + X 2 ц.м.

Что получится, если умножить его на m i и просуммировать по всем r? Вынося постоянные величины за знак суммирования, находим

I x = Σm i x` 2 i + 2X ц.м. Σm i x` i + X2 ц.м. Σm i

Третью сумму подсчитать легко; это просто МХ 2 ц.м. . Второй член состоит из двух сомножителей, один из которых Σm i x` i ; он равен x`-координате центра масс. Но это должно быть равно нулю, ведь х` отсчитывается от центра масс, а в этой системе координат среднее положение всех частиц, взвешенное их массами, равно нулю. Первый же член, очевидно, представляет собой часть х от I ц. Таким образом, мы и приходим к формуле (19.7).

Давайте проверим формулу (19.7) на одном примере. Просто проверим, будет ли она применима для стержня. Мы уже нашли, что момент инерции стержня относительно его конца должен быть равен ML 2 /3. А центр масс стержня, разумеется, находится на расстоянии L/2. Таким образом, мы должны получить, что ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Так как одна четвертая + одна двенадцатая = одной третьей, то мы не сделали никакой грубой ошибки.

Кстати, чтобы найти момент инерции (19.5), вовсе не обязательно вычислять интеграл. Можно просто предположить, что он равен величине ML 2 , умноженной на некоторый неизвестный коэффициент γ. После этого можно использовать рассуждения о двух половинках и для момента инерции (19.6) получить коэффициент 1/4γ. Используя теперь теорему о параллельном переносе оси, докажем, что γ=1/4γ + 1/4, откуда γ=1/3. Всегда можно найти какой-нибудь окольный путь!

При применении теоремы о параллельных осях важно помнить, что ось I ц должна быть параллельна оси, относительно которой мы хотим вычислять момент инерции.

Стоит, пожалуй, упомянуть еще об одном свойстве, которое часто бывает очень полезно при нахождении момента инерции некоторых типов тел. Оно состоит в следующем: если у нас есть плоская фигура и тройка координатных осей с началом координат, расположенным в этой плоскости, и осью z, направленной перпендикулярно к ней, то момент инерции этой фигуры относительно оси z равен сумме моментов инерции относительно осей х и у. Доказывается это совсем просто. Заметим, что

Момент инерции однородной прямоугольной пластинки, например с массой М, шириной ω и длиной L относительно оси, перпендикулярной к ней и проходящей через ее центр, равен просто

поскольку момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости пластинки и параллельной ее длине, равен Mω 2 /12, т. е. точно такой же, как и для стержня длиной ω, а момент инерции относительно другой оси в той же плоскости равен ML 2 /12, такой же, как и для стержня длиной L.

Итак, перечислим свойства момента инерции относительно данной оси, которую мы назовем осью z:

1. Момент инерции равен

2. Если предмет состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой из них известен, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей.
3. Момент инерции относительно любой данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс.
4. Момент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости, равен сумме моментов инерции относительно любых двух других взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пересекающихся с перпендикулярной осью.

В табл. 19.1 приведены моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих однородную плотность масс, а в табл. 19.2 — моменты инерции некоторых фигур, которые могут быть получены из табл. 19.1 с использованием перечисленных выше свойств.