Формула работы. Механическая работа

A тяж = mg(h н – h к) (14.19)

где h н и h к - начальная и конечная высоты (рис.14.7) материальной точки массой m, g - модуль ускорения свободного падения.

Работа силы тяжести A тяж определяется начальным и конечным положениями материальной точки и не зависит от траектории между ними.

Она может быть положительной, отрицательной и равной нулю:

а) A тяж > 0 - при спуске материальной точки,

б) A тяж < 0 - при подъеме материальной точки,

в) A тяж = 0 - при условии, что высота не изменяется, либо при замкнутой траектории материальной точки.

Работа силы трения при постоянных скорости м.т. (v = const ) и силы трения (F тр = const ) на промежутке времени t:

A тр = (F тр,v )t, (14.20)

Работа силы трения может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Например:

а
) работа силы трения, действующей на нижний брусок со стороны верхнего бруска (рис.14.8), A тр.2,1 > 0, т.к. угол между силой, действующей на нижний брусок со стороны верхнего бруска F тр.2,1 и скоростью v 2 нижнего бруска (относительно поверхности Земли) равен нулю;

б) A тр.1,2 < 0 - угол между силой трения F тр.1,2 и скоростью v 1 верхнего бруска равен 180 (см. рис.14.8);

в) А тр = 0 - например, брусок находится на вращающемся горизонтальном диске (относительно диска брусок неподвижен).

Работа силы трения зависит от траектории между начальным и конечным положениями материальной точки.

§15. Механическая энергия

Кинетическая энергия материальной точки K - СФВ, равная половине произведения массы м.т. на квадрат модуля ее скорости:

(15.1)

Кинетическая энергия, обусловленная движением тела, зависит от системы отсчета и является неотрицательной величиной:

Единица кинетической энергии -джоуль: [К] = Дж.

Теорема о кинетической энергии - приращение кинетической энергии м.т. равно работе A р равнодействующей силы:

K = A р. (15.3)

Работа равнодействующей силы может быть найдена как сумма работ А i всех силF i (i = 1,2,…n), приложенных к м.т.:

(15.4)

Модуль скорости материальной точки: при A р > 0 - увеличивается; при A р < 0 - уменьшается; при A р = 0 - не изменяется.

Кинетическая энергия системы материальных точек K с равна сумме кинетических энергий K i всех n м.т., принадлежащих данной системе:

(15.5)

где m i и v i - масса и модуль скорости i-й м.т. данной системы.

Приращение кинетической энергии системы м.т. K с равно сумме работ А рi всех n равнодействующих сил, приложенных к i-м материальным точкам системы:

(15.6)

Поле сил - область пространства, в каждой точке которой на тело действуют силы.

Стационарное поле сил - поле, силы которого не изменяются с течением времени.

Однородное поле сил - поле, силы которого во всех его точках одинаковы.

Центральное поле сил - поле, направления действия всех сил которого проходят через одну точку, называемую центром поля, а модуль сил зависит только от расстояния до этого центра.

Неконсервативные силы (нкс.сл) - силы, работа которых зависит от траектории между начальным и конечным положениями тела.

Пример неконсервативных сил - силы трения. Работа сил трения по замкнутой траектории в общем случае не равна нулю.

Консервативные силы (кс.сл) - силы, работа которых определяется начальным и конечным положениями м.т. и не зависит от траектории между ними. При замкнутой траектории работа консервативных сил равна нулю. Поле консервативных сил называется потенциальным.

Пример консервативных сил - силы тяжести и упругости.

Потенциальная энергия П - СФВ, являющаяся функцией взаимного расположения частей системы (тела).

Единица потенциальной энергии -джоуль: [П] = Дж.

Теорема о потенциальной энергии

Убыль потенциальной энергии системы материальных точек равна работе консервативных сил:

–П с = П н – П к = A кс.сл (15.7)

Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной величины и может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Потенциальная энергия материальной точки П в какой-либо точке силового поля - СФВ, равная работе консервативных сил при перемещении м.т. из данной точки поля в точку, потенциальная энергия в которой принята равной нулю:

П = A кс.сл. (15.8)

Потенциальная энергия упругодеформированной пружины

(15.9)

где х - смещение незакрепленного конца пружины; к - жесткость пружины, С - произвольная постоянная (выбирается из условия удобства решения задачи).

Графики П(х) при различных постоянных: а) С > 0, б) С = 0, в) С < 0  параболы (рис.15.1).

При условии П (0) = 0 постоянная С = 0 и

(15.10)

Работа силы тяжести. Решение задач

Цель урока: определить формулу для работы силы тяжести; определить, что работы силы тяжести не зависит от траектории движения тела; развить практические навыки по решению задач.

Ход урока.

1.Организационный момент. Приветствие учащихся, проверка отсутствующих, постановка цели урока.

2.Проверка домашней работы.

3.Изучение нового материала. На предыдущем уроке мы с вами определили формулу для определения работы. Какой формулой определяется работа постоянной силы? (А= FScosα )

Что такое А и S ?

Теперь же применим эту формулу для силы тяжести. Но для начала вспомним, чему равна сила тяжести? (F = mg )

Рассмотрим случай а) тело падает вертикально вниз. Как мы с вами знаем сила тяжести всегда направленно строго вниз. Для того чтобы определить направление S необходимо вспомнить определение. (Перемещение-это вектор соединяющий начальную и конечную точку. Направлен он от начала к концу)

Т.о. для определения , Так как направление перемещения и силы тяжести совпадают, то α =0 и работа силы тяжести равна:

Рассмотрим случай б) тело двигается вертикально вверх. Т.к. направление силы тяжести и перемещении противоположны, то то α =0 и работа силы тяжести равна .

Т.о. образом если сравнить две формулы по модулю, то они будут одинаковы.

Рассмотрим случай в) тело движется по наклонной плоскости. Работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения тела, совершённого под действием данной силы, то есть работа сила тяжести в данном случае будет равна , где – угол между векторами силы тяжести и перемещения. На рисунке видно, что перемещение () представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, а высота h – катет. Согласно свойству прямоугольного треугольника:

.Следовательно

Т.о. какой можно сделать вывод? (что работа силы тяжести не зависит от траектории движения.)

Рассмотрим последний пример, когда траектория движения будет замкнутая линия. Кто скажет чему будет равна работа и почему? (А=0, т.к. перемещение равно 0)

Отметим!: работа силы тяжести при движении тела по замкнутой траектории равна нулю.

4. Закрепление материала.

Задача 1. Охотник стреляет со скалы под углом 40° к горизонту. За время падения пули работа силы тяжести составила 5 Дж. Если пуля вошла в землю на расстоянии 250 м от скалы, то какова её масса?

Задача 2. Находясь на Нептуне, тело совершило перемещение так, как показано на рисунке. При этом перемещении работа силы тяжести составила 840 Дж. Если масса данного тела равна 5 кг, то каково ускорение свободного падения на Нептуне?

5. Домашнее задание.

С механической работой (работой силы) вы уже знакомы из курса физики основной школы. Напомним приведенное там определение механической работы для следующих случаев.

Если сила направлена так же, как перемещение тела, то работа силы

В этом случае работа силы положительна.

Если сила направлена противоположно перемещению тела, то работа силы

В этом случае работа силы отрицательна.

Если сила f_vec направлена перпендикулярно перемещению s_vec тела, то работа силы равна нулю:

Работа – скалярная величина. Единицу работы называют джоуль (обозначают: Дж) в честь английского ученого Джеймса Джоуля, сыгравшего важную роль в открытии закона сохранения энергии. Из формулы (1) следует:

1 Дж = 1 Н * м.

1. Брусок массой 0,5 кг переместили по столу на 2 м, прикладывая к нему силу упругости, равную 4 Н (рис. 28.1). Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,2. Чему равна работа действующей на брусок:
а) силы тяжести m?
б) силы нормальной реакции ?
в) силы упругости ?
г) силы трения скольжения тр?

Суммарную работу нескольких сил, действующих на тело, можно найти двумя способами:
1. Найти работу каждой силы и сложить эти работы с учетом знаков.
2. Найти равнодействующую всех приложенных к телу сил и вычислить работу равнодействующей.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Чтобы убедиться в этом, вернитесь к предыдущему заданию и ответьте на вопросы задания 2.

2. Чему равна:
а) сумма работ всех действующих на брусок сил?
б) равнодействующая всех действующих на брусок сил?
в) работа равнодействующей? В общем случае (когда сила f_vec направлена под произвольным углом к перемещению s_vec) определение работы силы таково.

Работа A постоянной силы равна произведению модуля силы F на модуль перемещения s и на косинус угла α между направлением силы и направлением перемещения:

A = Fs cos α (4)

3. Покажите, что из общего определения работы следуют к выводы, показанные на следующей схеме. Сформулируйте их словесно и запишите в тетрадь.

4. К находящемуся на столе бруску приложена сила, модуль которой 10 Н. Чему равен угол между этой силой и перемещением бруска, если при перемещении бруска по столу на 60 см эта сила совершила работу: а) 3 Дж; б) –3 Дж; в) –3 Дж; г) –6 Дж? Сделайте пояснительные чертежи.

2. Работа силы тяжести

Пусть тело массой m движется вертикально от начальной высоты h н до конечной высоты h к.

Если тело движется вниз (h н > h к, рис. 28.2, а), направление перемещения совпадает с направлением силы тяжести, поэтому работа силы тяжести положительна. Если же тело движется вверх (h н < h к, рис. 28.2, б), то работа силы тяжести отрицательна.

В обоих случаях работа силы тяжести

A = mg(h н – h к). (5)

Найдем теперь работу силы тяжести при движении под углом к вертикали.

5. Небольшой брусок массой m соскользнул вдоль наклонной плоскости длиной s и высотой h (рис. 28.3). Наклонная плоскость составляет угол α с вертикалью.

а) Чему равен угол между направлением силы тяжести и направлением перемещения бруска? Сделайте пояснительный чертеж.
б) Выразите работу силы тяжести через m, g, s, α.
в) Выразите s через h и α.
г) Выразите работу силы тяжести через m, g, h.
д) Чему равна работа силы тяжести при движении бруска вдоль всей этой же плоскости вверх?

Выполнив это задание, вы убедились, что работа силы тяжести выражается формулой (5) и тогда, когда тело движется под углом к вертикали – как вниз, так и вверх.

Но тогда формула (5) для работы силы тяжести справедлива при движении тела по любой траектории, потому что любую траекторию (рис. 28.4, а) можно представить как совокупность малых «наклонных плоскостей» (рис. 28.4, б).

Таким образом,
работа силы тяжести при движении но любой траектории выражается формулой

A т = mg(h н – h к),

где h н – начальная высота тела, h к – его конечная высота.
Работа силы тяжести не зависит от формы траектории.

Например, работа силы тяжести при перемещении тела из точки A в точку B (рис. 28.5) по траектории 1, 2 или 3 одинакова. Отсюда, в частности, следует, что рибота силы тяжести при перемещении по замкнутой траектории (когда тело возвращается в исходную точку) равна нулю.

6. Шар массой m, висящий на нити длиной l, отклонили на 90º, держа нить натянутой, и отпустили без толчка.
а) Чему равна работа силы тяжести за время, в течение которого шар движется к положению равновесия (рис. 28.6)?
б) Чему равна работа силы упругости нити за то же время?
в) Чему равна работа равнодействующей сил, приложенных к шару, за то же время?

3. Работа силы упругости

Когда пружина возвращается в недеформированное состояние, сила упругости совершает всегда положительную работу: ее направление совпадает с направлением перемещения (рис. 28.7).

Найдем работу силы упругости .
Модуль этой силы связан с модулем деформации x соотношением (см. § 15)

Работу такой силы можно найти графически.

Заметим сначала, что работа постоянной силы численно равна площади прямоугольника под графиком зависимости силы от перемещения (рис. 28.8).

На рисунке 28.9 изображен график зависимости F(x) для силы упругости. Разобьем мысленно все перемещение тела на столь малые промежутки, чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной.

Тогда работа на каждом из этих промежутков численно равна площади фигуры под соответствующим участком графика. Вся же работа равна сумме работ на этих участках.

Следовательно, и в этом случае работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости F(x).

7. Используя рисунок 28.10, докажите, что

работа силы упругости при возвращении пружины в недеформированное состояние выражается формулой

A = (kx 2)/2. (7)

8. Используя график на рисунке 28.11, докажите, что при изменении деформации пружины от x н до x к работа силы упругости выражается формулой

Из формулы (8) мы видим, что работа силы упругости зависит только от начальной и конечной деформации пружины, Поэтому если тело сначала деформируют, а потом оно возвращается в начальное состояние, то работа силы упругости равна нулю. Напомним, что таким же свойством обладает и работа силы тяжести.

9. В начальный момент растяжение пружины жесткостью 400 Н/м равно 3 см. Пружину растянули еще на 2 см.
а) Чему равна конечная деформация пружины?
б) Чему равна работа силы упругости пружины?

10. В начальный момент пружина жесткостью 200 Н/м растянута на 2 см, а в конечный момент она сжата на 1 см. Чему равна работа силы упругости пружины?

4. Работа силы трения

Пусть тело скользит по неподвижной опоре. Действующая на тело сила трения скольжения направлена всегда противоположно перемещению и, следовательно, работа силы трения скольжения отрицательно при любом направлении перемещения (рис. 28.12).

Поэтому если сдвинуть брусок вправо, а пегом на такое же расстояние влево, то, хотя он и вернется в начальное положение, суммарная работа силы трения скольжения не будет равна нулю. В этом состоит важнейшее отличие работы силы трения скольжения от работы силы тяжести и силы упругости. Напомним, что работа этих сил при перемещении тела по замкнутой траектории равна нулю.

11. Брусок массой 1 кг передвигали по столу так, что его траекторией оказался квадрат со стороной 50 см.
а) Вернулся ли брусок в начальную точку?
б) Чему равна суммарная работа действовавшей на брусок силы трения? Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,3.

5. Мощность

Часто важна не только совершаемая работа, но и скорость совершения работы. Она характеризуется мощностью.

Мощностью P называют отношение совершенной работы A к промежутку времени t, за который эта работа совершена:

(Иногда мощность в механике обозначают буквой N, а в электродинамике – буквой P. Мы считаем более удобным одинаковое обозначение мощности.)

Единица мощности – ватт (обозначают: Вт), названная в честь английского изобретателя Джеймса Уатта. Из формулы (9) следует, что

1 Вт = 1 Дж/c.

12. Какую мощность развивает человек, равномерно поднимая ведро воды массой 10 кг на высоту 1 м в течение 2 с?

Часто мощность удобно выражать не через работу и время, а через силу и скорость.

Рассмотрим случай, когда сила направлена вдоль перемещения. Тогда работа силы A = Fs. Подставляя это выражение в формулу (9) для мощности, получаем:

P = (Fs)/t = F(s/t) = Fv. (10)

13. Автомобиль едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч. При этом его двигатель развивает мощность 20 кВт. Чему равна сила сопротивления движению автомобиля?

Подсказка. Когда автомобиль движется по горизонтальной дороге с постоянной скоростью, сила тяги равна по модулю силе сопротивления движению автомобиля.

14. Сколько времени потребуется для равномерного подъема бетонного блока массой 4 т на высоту 30 м, если мощность двигателя подъемного крана 20 кВт, а КПД электродвигателя подъемного крана равен 75%?

Подсказка. КПД электродвигателя равен отношению работы по подъему груза к работе двигателя.

Дополнительные вопросы и задания

15. Мяч массой 200 г бросили с балкона высотой 10 и под углом 45º к горизонту. Достигнув в полете максимальной высоты 15 м, мяч упал на землю.
а) Чему равна работа силы тяжести при подъеме мяча?
б) Чему равна работа силы тяжести при спуске мяча?
в) Чему равна работа силы тяжести за все время полета мяча?
г) Есть ли в условии лишние данные?

16. Шар массой 0,5 кг подвешен к пружине жесткостью 250 Н/м и находится в равновесии. Шар поднимают так, чтобы пружина стала недеформированной, и отпускают без толчка.
а) На какую высоту подняли шар?
б) Чему равна работа силы тяжести за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?
в) Чему равна работа силы упругости за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?
г) Чему равна работа равнодействующей всех приложенных к шару сил за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?

17. Санки массой 10 кг съезжают без начальной скорости со снежной горы с углом наклона α = 30º и проезжают некоторое расстояние по горизонтальной поверхности (рис. 28.13). Коэффициент трения между санками и снегом 0,1. Длина основания горы l = 15 м.

а) Чему равен модуль силы трения при движении санок по горизонтальной поверхности?
б) Чему равна работа силы трения при движении санок по горизонтальной поверхности на пути 20 м?
в) Чему равен модуль силы трения при движении санок по горе?
г) Чему равна работа силы трения при спуске санок?
д) Чему равна работа силы тяжести при спуске санок?
е) Чему равна работа равнодействующей сил, действующих на санки, при их спуске с горы?

18. Автомобиль массой 1 т движется со скоростью 50 км/ч. Двигатель развивает мощность 10 кВт. Расход бензина составляет 8 л на 100 км. Плотность бензина 750 кг/м 3 , а его удельная теплота сгорания 45 МДж/кг. Чему равен КПД двигателя? Есть ли в условии лишние данные?
Подсказка. КПД теплового двигателя равен отношению совершенной двигателем работы к количеству теплоты, которое выделилось при сгорании топлива.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Механическая работа – это произведение силы, приложенной к объекту, на перемещение, совершённое этой силой.

– работа (может обозначаться как ), – сила, – перемещение.

Единица измерения работы — Дж (джоуль) .

Указанная формула применима к телу, движущемуся прямолинейно и постоянном значении воздействующей на него силы. Если между вектором силы и прямой, описывающей траекторию тела есть угол, то формула принимает вид:

Кроме того, понятие работы можно определить как изменение энергии тела:

Именно такое применение этого понятия чаще всего встречается в задачах.

Примеры решения задач по теме «Механическая работа»

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты и равна произведению модуля силы тяжести на вертикальное перемещение точки (рис. 15.6):

где Δh - изменение высоты. При опускании работа положительна, при подъеме отрицательна.

Работа равнодействующей силы

Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения М 1 в положение М 2 (рис. 15.7).

В случае движения под действием системы сил пользуются тео­ремой о работе равнодействующей.

Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ системы сил на том же перемещении.

Примеры решения задач

Пример 1. Тело массой 200 кг поднимают по наклонной плос­кости (рис. 15.8).

Определите работу при перемеще­нии на 10 м с постоянной скоростью. Коэффициент трения тела о плоскость f = 0,15.

Решение

1. При равномерном подъеме движущая сила равна сумме сил сопро­тивления движению. Наносим на схему силы, действующие на тело:

1. Используем теорему о работе равнодействующей:

1. Подставляем входящие величины и определяем работу по подъему:

Пример 2. Определите работу силы тяжести при перемещении груза из точки А в точку С по наклонной плоскости (рис. 15.9). Сила тяжести тела 1500 Н. АВ = 6 м, ВС = 4 м.

Решение

1. Работа силы тяжести зависит только от изменения вы­соты груза. Изменение высоты при перемещении из точки А в С:

2. Работа силы тяжести:

Пример 3. Определите работу силы резания за 3 мин. Ско­рость вращения детали 120 об/мин, диаметр обрабатываемой детали 40 мм, сила резания 1 кН (рис. 15.10).

Решение

1. Работа при вращательном движе­нии

где F peз - сила резания.

2. Угловая частота вращения 120 об/мин.

3. Число оборотов за заданное время составляет z = 120 3 = 360 об.

Угол поворота за это время

4. Работа за 3 мин Wp = 1 0,02 2261 = 45,2 кДж.

Пример 4. Тело массой m = 50 кг передвигают по полу при помощи горизонтальной силы Q на расстояние S = 6 м. Определить ра­боту, которую совершит сила трения, если коэф­фициент трения между поверхностью тела и полом f = 0,3 (рис. 1.63).

Решение

Согласно закону Аммонтона - Кулона сила трения

Сила трения направлена в сто­рону, противоположную движению, поэтому работа этой силы отрицательна:

Пример 5. Определить натяжение ветвей ремен­ной передачи (рис. 1.65), если мощность, передаваемая валом, N = 20 кВт, частота вращения вала п = 150 об/мин.

Решение

Вращающий момент, передаваемый валом,

Пример 6. Колесо радиусом R = 0,3м катится без скольжения по горизонтальному рельсу (рис. 1.66). Найти работу трения качения при перемещении центра колеса на расстояние S = 30 м, если вертикальная нагрузка на ось колеса составляет Р = 100 кН. Коэффициент трения качения ко­леса по рельсу равен k = 0,005 см.

Решение

Трение качения воз­никает из-за деформаций колеса и рельса в зоне их контакта. Нор­мальная реакция N смещается вперед по направлению движения и образует с вертикальной силой давления Р на ось колеса пару, плечо которой равно коэффициен­ту трения качения k , а момент

Эта пара стремится повернуть колесо в направлении, противоположном его вращению. Поэтому работа трения качения будет отрицательной и определится как произве­дение постоянного момента трения на угол поворота ко­леса φ , т. е.

Путь, пройденный колесом, можно определить как про­изведение его угла поворота на радиус

Вводя значение φ в выражение работы и подставляя числовые значения, получаем

Контрольные вопросы и задания

1. Какие силы называют движущими?

2. Какие силы называют силами сопротивления?

3. Запишите формулы для определения работы при поступатель­ном и вращательном движениях.

4. Какую силу называют окружной? Что такое вращающий мо­мент?

5. Сформулируйте теорему о работе равнодействующей.