Выделить частное решение неоднородной системы. Решение однородных систем линейных уравнений

Мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений .
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна , то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Пример 1

Решение : чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ :

Сформулируем очевидный критерий : однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение , если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований:

Пример 2

Решить однородную систему линейных уравнений

Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание:

Пример 7

Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.

Решение : запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие.

(1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2.

(3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили.

В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее:

– базисные переменные;
– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:

– подставим в 1-е уравнение:

Таким образом, общее решение:

Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.

Подставим тройку значений в общее решение и получим вектор , координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно.

Для тройки значений находим вектор

И, наконец, для тройки получаем третий вектор:

Ответ : , где

Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки и получить ответ в эквивалентном виде:

К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу и зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную , потом через дроби базисную переменную , и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный.

Второй вариант решения :

Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные . Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:

6.3. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть теперь в системе (6.1) .

Однородная система всегда совместна. Решение ( ) называется нулевым , или тривиальным .

Однородная система (6.1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг () меньше числа неизвестных. В частности, однородная система, в которой число уравнений равно числу неизвестных, обладает ненулевым решением тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Поскольку на этот раз все , вместо формул (6.6) получим следующие:

(6.7)

Формулы (6.7) содержат любое решение однородной системы (6.1).

1. Совокупность всех решений однородной системы линейных уравнений (6.1) образует линейное пространство.

2. Линейное пространство R всех решений однородной системы линейных уравнений (6.1) с n неизвестными и рангом основной матрицы, равным r , имеет размерность n – r .

Любая совокупность из (n – r ) линейно независимых решений однородной системы (6.1) образует базис в пространстве R всех решений. Она называется фундаментальной совокупностью решений однородной системы уравнений (6.1). Особо выделяют «нормальную» фундаментальную совокупность решений однородной системы (6.1):

(6.8)

По определению базиса, любое решение Х однородной системы (6.1) представимо в виде

(6.9)

где – произвольные постоянные.

Поскольку в формуле (6.9) содержится любое решение однородной системы (6.1), то она дает общее решение этой системы.

Пример.

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n .

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r ; - базис этого подпространства.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система

Здесь x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, a mn - коэффициенты системы - иb 1 , b 2 , … b m a ij i ) и неизвестного (j

Система (1) называется однородной b 1 = b 2 = … = b m = 0), иначе -неоднородной .

Система (1) называется квадратной , если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) - совокупность n чисел c 1 , c 2 , …, c n , таких что подстановка каждого c i вместо x i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной несовместной

Решения c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) и c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n различными

определённой неопределённой . Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой .

Решение систем линейных уравнений

Решение матричных уравнений ~ Метод Гаусса

Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы , представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.),

2. итерационные методы , позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

Решение матричных уравнений

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х 1 , х 2 , …, х n :

.

(15)

Матрица А , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы ; матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы . Матрица-столбец х , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы .

Если матрица А - неособенная, то есть det A н е равен 0 то система (13), или эквивалентное ей матричное уравнение (14), имеет единственное решение.

В самом деле, при условии det A не равно 0 существует обратная матрица А -1 . Умножая обе части уравнения (14) на матрицу А -1 получим:

Формула (16) дает решение уравнения (14) и оно единственно.

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve .

lsolve(А, b )

Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b.

Аргументы:

А - квадратная, не сингулярная матрица.

b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А .

На Рисунке 8 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.

Метод Гаусса

Метод Гаусса, его еще называют методом Гауссовых исключений, состоит в том, что систему (13) приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

.

Последний, (n + 1) столбец этой матрицы содержит решение системы (13).

В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref (A ).

На Рисунке 9 показано решение системы линейных уравнений методом Гаусса, в котором используются следующие функции:

rref(A )

Возвращается ступенчатая форма матрицы А .

augment(A , В )

Возвращается массив, сформированный расположением A иВ бок о бок. Массивы A иВ должны иметь одинаковое число строк.

submatrix(A, ir, jr, ic, jc )

Возвращается субматрица, состоящая из всех элементов с ir по jr и столбцах с ic по jc. Удостоверьтесь, что ir jr и

ic jc, иначе порядок строк и (или) столбцов будет обращен.

Рисунок 9.

Описание метода

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца(определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2,...,bn и x1,x2,...,xn, либо набор c1,c2,...,cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы дляопределителя Грама и Леммы Накаямы.

35) Теорема Кронекера-Капелли

Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы Доказательство необходимости. Пусть система (1.13) совместна, то есть существуют такие числа х 1 =α 1 , х 2 =α 2 , …, х n =α n , что (1.15) Вычтем из последнего столбца расширенной матрицы ее первый столбец, умноженный на α 1 , второй – на α 2 , …, n-ый – умноженный на α n , то есть из последнего столбца матрицы (1.14) следует вычесть левые части равенств (1.15). Тогда получим матрицу ранг которой в результате элементарных преобразований не изменится и . Но очевидно, и, значит, Доказательство достаточности. Пусть и пусть для определенности не равный нулю минор порядка r расположен в левом верхнем углу матрицы: Это означает, что остальные строки матрицы могут быть получены как линейные комбинации первых r строк, то есть m-r строк матрицы можно представить в виде сумм первых r строк, умноженных на некоторые числа. Но тогда первые r уравнений системы (1.13) самостоятельны, а остальные являются их следствиями, то есть решение системы первых r уравнений автоматически является решением остальных уравнений. Возможны два случая. 1. r=n. Тогда система, состоящая из первых r уравнений, имеет одинаковое число уравнений и неизвестных и совместна, причем решение ее единственно. 2. r (1.16) «Свободным» неизвестным x r +1 , x r +2 , …, x n можно придать какие угодно значения. Тогда соответствующие значения получают неизвестные x 1 , x 2 , …, x r . Система (1.13) и в этом случае совместная, но неопределенная. Замечание. Отличный от нуля минор порядка r, где rх 1 , х 2 , …, х r так же называют базисными, остальные – свободными. Систему (1.16) называют укороченной. Если свободные неизвестные обозначить х r +1 =c 1 , х r +2 =c 2 , …, х n =c n - r , то базисные неизвестные будут от них зависеть, то есть решение системы m уравнений с n неизвестными будет иметь вид X = (x 1 (c 1 , …, c n - r ), x 2 (c 1 , …, c n - r ), …, x r (c 1 , …, c n - r ), c 1 , c 2 , …, c n - r ) T , где значок Т означает транспонирование. Такое решение системы называется общим.

36)ус-е определенности, неопределенности
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система ) в линейной алгебре - это система уравнений вида

Здесь x 1 , x 2 , …, x n - неизвестные, которые надо определить. a 11 , a 12 , …, a mn - коэффициенты системы - и b 1 , b 2 , … b m - свободные члены - предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a ij ) системы обозначают номера уравнения (i ) и неизвестного (j ), при котором стоит этот коэффициент, соответственно .

Система (1) называется однородной , если все её свободные члены равны нулю (b 1 = b 2 = … = b m = 0), иначе - неоднородной .

Система (1) называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) и c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) совместной системы вида (1) называются различными , если нарушается хотя бы одно из равенств:

Совместная система вида (1) называется определённой , если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой

37)Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы, b - столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

Тогда переменные называются главными переменными . Все остальные называются свободными .

[править]Условие совместности

Упомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Алгоритм

Описание

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

§ На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

§ На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Метод Гаусса требует порядка O (n 3) действий.

Этот метод опирается на:

38)Теорема Кронекера-Капелли.
Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

Инструкция . Выберите размерность матрицы:

Свойства систем линейных однородных уравнений

Теорема . Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема . Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение . Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений , если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из (n-r) решений.

Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений

1. Находим ранг матрицы.
2. Выделяем базисный минор. Выделяем зависимые (базисные) и свободные неизвестные.
3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
5. Решаем полученную систему методом исключения неизвестных. Находим соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.
6. Если ранг матрицы не равен количеству переменных, то находим фундаментальное решение системы.
7. В случае rang = n имеем тривиальное решение.

Пример . Найти базис системы векторов (а 1 , а 2 ,...,а m), ранг и выразить векторы по базе. Если а 1 =(0,0,1,-1), а 2 =(1,1,2,0), а 3 =(1,1,1,1), а 4 =(3,2,1,4), а 5 =(2,1,0,3).
Выпишем основную матрицу системы: