Касательная плоскость и нормаль к поверхности теория. Теоретический материал

Скачать с Depositfiles

4. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

4.1 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

Поверхность в трёхмерном пространстве может быть задана:

1) неявно: F ( x , y , z ) =0 (4.1)

2) явно: z = f ( x , y ) (4.2)

3) параметрически: (4.3)

или:
(4.3’)

где скалярные аргументы
иногда называют криволинейными координатами. Например, сферу
удобно задавать в сферических координатах:
.

4.2 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ.

Если линия лежит на поверхности (4.1), то координаты её точек удовлетворяют уравнению поверхности:

Дифференцируя это тождество, получим:

(4.4)

или
(4.4 ’ )

в каждой точке кривой на поверхности. Таким образом, вектор градиента в неособых точках поверхности (в которых функция (4.5) дифференцируема и
) перпендикулярен касательным векторам к любым линиям на поверхности, т.е может быть использован в качестве вектора нормали для составления уравнения касательной плоскости в точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) поверхности

(4.6)

и в качестве направляющего вектора в уравнении нормали:

(4.7)

В случае явного (4.2) задания поверхности уравнения касательной плоскости и нормали соответственно примут вид:

(4.8)

и
(4.9)

При параметрическом представлении поверхности (4.3) векторы
лежат в касательной плоскости и уравнение касательной плоскости может быть записано в виде:

(4.10)

а в качестве направляющего вектора нормали может быть принято их векторное произведение:

и уравнение нормали может быть записано в виде:

(4.11)

где
— значения параметров соответствующие точке М 0 .

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь таких точек поверхности, где векторы

не равны нулю и не параллельны.

Пример 4.1 Составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке М 0 (1,1,2) к поверхности параболоида вращения
.

Решение: Так как уравнение параболоида задано в явном виде, то согласно (4.8) и (4.9) нужно найти
в точке М 0 :

, а в точке М 0
. Тогда уравнение касательной плоскости в точке М 0 примет вид:

2(x -1)+2(y -1)-(z -2)=0 или 2 x +2 y – z ‑ 2=0, а уравнение нормали
.

Пример 4.2 Составить уравнения касательной плоскости и нормали в произвольной точке геликоида
, .

Решение. Здесь ,

Уравнение касательной плоскости:

или

Уравнения нормали:

.

4.3 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.

Если поверхность задается уравнением

то кривая
на ней может быть задана уравнением
(4.12)

Дифференциал радиус-вектора
вдоль кривой, отвечающий смещению из точки М 0 в близлежащую точку М, равен

(4.13)

Так как
— дифференциал дуги кривой, отвечающий тому же смещению), то

(4.14)

где .

Выражение в правой части (4.14) называется первой квадратичной формой поверхности и играет в теории поверхностей огромную роль.

Интегрирую дифференциал ds в пределах от t 0 (соответствует точке М 0 ) до t (соответствует точке М), получим длину соответствующего отрезка кривой

(4.15)

Зная первую квадратичную форму поверхности, можно находить не только длины, но и углы между кривыми.

Если du , dv — дифференциалы криволинейных координат, отвечающие бесконечно малому смещению по одной кривой, а
— по другой, то с учетом (4.13):

(4.16)

С помощью формулы

(4.17)

первая квадратичная форма дает возможность вычислить площадь области
поверхности.

Пример 4.3 На геликоиде , найти длину винтовой линии
между двумя точками .

Решение. Поскольку на винтовой линии
, то . Найдём в точке
первую квадратичную форму. Обозначив и v = t , получим уравнение данной винтовой линии в виде . Квадратичная форма:

= ‑ первая квадратичная форма.

Здесь . В формуле (4.15) в данном случае
и длина дуги:

=

4.4 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.

Обозначим
‑ единичный вектор нормали к поверхности
:

(4.18) . (4.23)

Линия на поверхности называется линией кривизны, если ее направление в каждой точке является главным направлением.

4.6 ПОНЯТИЕ О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ НА ПОВЕРХНОСТИ.

Определение 4.1 . Кривая на поверхности называется геодезической, если ее главная нормаль в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью к поверхности.

Через каждую точку поверхности в любом направлении проходит, и при том только одна геодезическая. На сфере, например, геодезическими являются большие круги.

Параметризация поверхности называется полугеодезической, если одно семейство координатных линий состоит из геодезических, а второе ему ортогонально. Например, на сфере меридианы (геодезические) и параллели.

Геодезическая на достаточно малом отрезке является кратчайшей среди всех близких к ней кривых, соединяющих те же точки.

Графиком функции 2-х переменных z = f(x,y) является поверхность, проектирующаяся на плоскость XOY в область определения функции D.
Рассмотрим поверхность σ , заданную уравнением z = f(x,y) , где f(x,y) – дифференцируемая функция, и пусть M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) – фиксированная точка на поверхности σ , т.е. z 0 = f(x 0 ,y 0). Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности . Решение оформляется в формате Word . Если необходимо найти уравнение касательной к кривой (y = f(x)), то необходимо использовать данный сервис .

Правила ввода функций :

Правила ввода функций :

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М 0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М 0 .
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) имеет вид:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 (0;1).
Решение . Запишем уравнения касательной в общем виде: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
По условию задачи x 0 = 0 , y 0 = 1 , тогда z 0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
В точке М 0 (0,1) значения частных производных:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) или -5 y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 (1;0;1).
Решение . Находим частные производные функции . Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М 0 (1,0,1) значения частных производных:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) или 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z = y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0), принадлежащей ей, если x 0 = –1, y 0 = 2.
Найдем частные производные функции z = f (x , y ) = y/x + xy – 5x 3:
f x ’(x , y ) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y ’ (x , y ) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x .
Точка М 0 (x 0 , y 0 , z 0) принадлежит поверхности σ , поэтому можно вычислить z 0 , подставив заданные x 0 = –1 и y 0 = 2 в уравнение поверхности:

z = y/x + xy – 5x 3

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х 0 , y 0) и В(х 1 ,y 1). Требуется: 1) вычислить значение z 1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z 1 функции в точке В исходя из значения z 0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
По условию задачи x 0 = 1, y 0 = 2, тогда z 0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
В точке М 0 (1,2) значения частных производных:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
или
-26 x-36 y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).

А именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.

Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.

В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий , которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .

Определение 1 : касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость , содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .

Определение 2 : нормаль к поверхности в точке – это прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.

С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:

Пример 1

Решение :если поверхность задана уравнением (т.е. неявно) , то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно) . При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных , то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:

Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:

Аналогично:

Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент .

Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:

– общее уравнение искомой касательной плоскости.

Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:

– верное равенство.

Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии , – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору :

В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет

Ответ :

Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.

Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:

Пример 2

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

И задание, интересное с технической точки зрения:

Пример 3

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

В точке .

Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой . А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.

Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.

В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .

Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.

Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:

Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?

Перепишем её в неявном виде :

И по тем же принципам найдём частные производные:

Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:

И соответственно, канонические уравнения нормали:

Как нетрудно догадаться, – это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.

Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки) . Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.

Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:

Пример 4

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….

Решение : уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:

Таким образом:

аккуратно, не спешим:

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ :

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».

И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)

Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие) . Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.

Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто;-) Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)» . Обратите внимание, как грамотно начата

Определение 1 : Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P (x 0 , y 0 , z 0) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Пусть поверхность s задана уравнением F (х , у , z ) = 0 и точка P (x 0 , y 0 , z 0) принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L , проходящую через точку Р .

Пусть х = х (t ), у = у (t ), z = z (t ) - параметрические уравнения линии L .

Предположим, что: 1) функция F (х , у , z ) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю; 2) функции х (t ), у (t ), z (t ) также дифференцируемы.

Поскольку кривая принадлежит поверхности s, то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [x (t ), у (t ), z (t )]= 0.

Продифференцировав это тождество по переменной t , используя цепное правило, получим новое тождественное равенство, справедливое во всех точках кривой, в том числе и в точке P (x 0 , y 0 , z 0):

Пусть точке Р соответствует значение параметра t 0 , то есть x 0 = x (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0). Тогда последнее соотношение, вычисленное в точке Р , примет вид

Данная формула представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый из них - постоянный вектор

не зависящий от выбора кривой на поверхности.

Второй вектор - касательный в точке Р к линии L , а значит, зависящий от выбора линии на поверхности, то есть является переменным вектором.

При введённых обозначениях равенство:

перепишем как.

Его смысл таков: скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы и перпендикулярны. Выбирая всевозможные кривые, проходящие через точку Р на поверхности s, мы будем иметь различные касательные векторы, построенные в точке Р к этим линиям; вектор же от этого выбора не зависит и будет перпендикулярен любому из них, то есть все касательные векторы расположены в одной плоскости, которая, по определению, является касательной к поверхности s, а точка Р в этом случае называется точкой касания. Вектор является направляющим вектором нормали к поверхности.

Определение 2: Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

Мы доказали существование касательной плоскости, а, следовательно, и нормали к поверхности. Запишем их уравнения:

Уравнение касательной плоскости, построенной в точке P (x0, y0, z0) к поверхности s, заданной уравнением F(х, у, z) = 0;

Уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности s.

Пример: Найти уравнение поверхности, образованной вращением параболы:

z 2 = 2p (y +2)

вокруг оси оу, вычислить при условии, что точка М(3, 1, - 3) принадлежит поверхности. Найти уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в точке М.

Решение. Используя правило записи поверхности вращения, получим:

z 2 + x 2 = 2p (y +2) .

Подставив координаты точки М в это уравнение, вычислим значение параметра р: 9 + 9 = 2р(1 + 2) . Записываем окончательный вид поверхности вращения, проходящей через точку М:

z 2 + x 2 = 6 (y +2).

Теперь найдём уравнения нормали и касательной плоскости по формулам, для чего вычислим сначала частные производные функции:

F(x, y) = z 2 + x 2- 6 (y +2):

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид 6(х - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 или x - y - z - 5 = 0;

Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида

Введем следующее определение.

Определение 1. Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке , если она является

касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Так как через точку Р проходит бесконечное число различных кривых, лежащих на поверхности, то и касательных к поверхности, проходящих через эту точку, будет, вообще говоря, бесконечное множество.

Введем понятие об особых и обыкновенных точках поверхности

Если в точке все три производные равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности. Если в точке все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то точка М называется обыкновенной точкой поверхности.

Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема. Все касательные прямые к данной поверхности (1) в ее обыкновенной точке Р лежат в одной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим на поверхности некоторую линию L (рис. 206), проходящую через данную точку Р поверхности. Пусть рассматриваемая кривая задана параметрическими уравнениями

Касательная к кривой будет касательной к поверхности. Уравнения этой касательной имеют вид

Если выражения (2) подставить в уравнение (1), то это уравнение превратится в тождество относительно t, так как кривая (2) лежит на поверхности (1). Дифференцируя его по получим

Проекции этого вектора зависят от - координат точки Р; заметим, что так как точка Р обыкновенная, то эти проекции в точке Р одновременно не обращаются в нуль и потому

касательный к кривой, проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Проекции этого вектора вычисляются на основании уравнений (2) при значении параметра t, соответствующем точке Р.

Вычислим скалярное произведение векторов N и которое равно сумме произведений одноименных проекций:

На основании равенства (3) выражение, стоящее в правой части, равно нулю, следовательно,

Из последнего равенства следует, что вектор ЛГ и касательный вектор к кривой (2) в точке Р перпендикулярны. Проведенное рассуждение справедливо для любой кривой (2), проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Следовательно, каждая касательная к поверхности в точке Р перпендикулярна к одному и тому же вектору N и потому все эти касательные лежат в одной плоскости, перпендикулярной к вектору ЛГ. Теорема доказана.

Определение 2. Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную ее точку Р, называется касательной плоскостью к поверхности в точке Р (рис. 207).

Заметим, что в особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. В таких точках касательные прямые к поверхности могут не лежать в одной плоскости. Так, например, вершина конической поверхности является особой точкой.

Касательные к конической поверхности в этой точке не лежат в одной плоскости (они сами образуют коническую поверхность).

Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности (1) в обыкновенной точке. Так как эта плоскость перпендикулярна вектору (4), то, следовательно, ее уравнение имеет вид

Если уравнение поверхности задано в форме или уравнение касательной плоскости в этом случае примет вид

Замечание. Если в формуле (6) положим , то эта формула примет вид

ее правая часть представляет собой полный дифференциал функции . Следовательно, . Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных в точке соответствующий приращениям независимых переменных х и у, равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости к поверхности, которая является графиком данной функции.

О пределение 3. Прямая, проведенная через точку поверхности (1) перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности (рис. 207).

Напишем уравнения нормали. Так как ее направление совпадает с направлением вектора N, то ее уравнения будут иметь вид