Построение точки пересечения прямой и плоскости. Координаты точки пересечения прямой и плоскости - примеры нахождения Найти точку пересечения прямой с плоскостью abc
В этой статье мы ответим на вопрос: «Как найти координаты точки пересечения прямой и плоскости, если заданы уравнения, определяющие прямую и плоскость»? Начнем с понятия точки пересечения прямой и плоскости. Далее покажем два способа нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости. Для закрепления материала рассмотрим подробные решения примеров.
Навигация по странице.
Точка пересечения прямой и плоскости – определение.
Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
- прямая лежит в плоскости;
- прямая параллельна плоскости;
- прямая пересекает плоскость.
Нас интересует третий случай. Напомним, что означает фраза: «прямая и плоскость пересекаются». Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют только одну общую точку. Это общую точку пересекающихся прямой и плоскости называют точкой пересечения прямой и плоскости .
Приведем графическую иллюстрацию.
Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости.
Введем в трехмерном пространстве Oxyz . Теперь каждой прямой соответствуют уравнения прямой некоторого вида (им посвящена статья виды уравнений прямой в пространстве), каждой плоскости отвечает уравнение плоскости (можете ознакомиться со статьей виды уравнения плоскости), а каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Дальнейшее изложение подразумевает знание всех видов уравнений прямой в пространстве и всех видов уравнения плоскости, а также умение переходить от одного вида уравнений к другому виду. Но не пугайтесь, по тексту мы будем приводить ссылки на необходимую теорию.
Давайте сначала детально разберем задачу, решение которой мы можем получить на основании определения точки пересечения прямой и плоскости. Эта задача нас подготовит к нахождению координат точки пересечения прямой и плоскости.
Пример.
Является ли точка М 0 с координатами точкой пересечения прямой и плоскости .
Решение.
Нам известно, что если точка принадлежит некоторой прямой, то координаты точки удовлетворяют уравнениям прямой. Аналогично, если точка лежит в некоторой плоскости, то координаты точки удовлетворяют уравнению этой плоскости. По определению точка пересечения прямой и плоскости является общей точкой прямой и плоскости, тогда координаты точки пересечения удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости.
Таким образом, для решения поставленной задачи нам следует подставить координаты точки М 0 в заданные уравнения прямой и в уравнение плоскости. Если при этом все уравнения обратятся в верные равенства, то точка М 0 является точкой пересечения заданных прямой и плоскости, в противном случае точка М 0 не является точкой пересечения прямой и плоскости.
Подставляем координаты точки :
Все уравнения обратились в верные равенства, следовательно, точка М 0 принадлежит одновременно и прямой и плоскости , то есть, М 0 является точкой пересечения указанных прямой и плоскости.
Ответ:
Да, точка - это точка пересечения прямой и плоскости .
Итак, координаты точки пересечения прямой и плоскости удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости. Этим фактом и будем пользоваться при нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.
Первый способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.
Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы прямая a и плоскость , причем известно, что прямая a и плоскость пересекаются в точке М 0 .
Искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости , как мы уже говорили, удовлетворяют и уравнениям прямой a , и уравнению плоскости , следовательно, они могут быть найдены как решение системы линейных уравнений вида . Это действительно так, так как решение системы линейных уравнений обращает каждое уравнение системы в тождество.
Отметим, что при такой постановке задачи мы фактически находим координаты точки пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями , и .
Решим пример для закрепления материала.
Пример.
Прямая, заданная уравнениями двух пересекающихся плоскостей как , пересекает плоскость . Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Решение.
Требуемые координаты точки пересечения прямой и плоскости мы получим, решив систему уравнений вида . При этом будем опираться на информацию статьи .
Для начала перепишем систему уравнений в виде и вычислим определитель основной матрицы системы (при необходимости обращайтесь к статье ):
Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому система уравнений имеет единственное решение. Для его отыскания можно воспользоваться любым методом. Мы используем :
Так мы получили координаты точки пересечения прямой и плоскости (-2, 1, 1) .
Ответ:
(-2, 1, 1) .
Следует отметить, что система уравнений имеет единственное решение, если прямая a , определенная уравнениями , и плоскость , заданная уравнением , пересекаются. Если прямая a лежит в плоскости , то система имеет бесконечное множество решений. Если же прямая a параллельна плоскости , то система уравнений решений не имеет.
Пример.
Найдите точку пересечения прямой и плоскости , если это возможно.
Решение.
Оговорка «если это возможно» означает, что прямая и плоскость могут не пересекаться.
. Если эта система уравнений имеет единственное решение, то оно даст нам искомые координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если эта система не имеет решений или имеет бесконечно много решений, то о нахождении координат точки пересечения не может быть и речи, так как прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Основная матрица системы имеет вид , а расширенная матрица - . Определим А
и ранг матрицы Т
:
. То есть, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы системы и равен двум. Следовательно, на основании теоремы Кронекера-Капелли можно утверждать, что система уравнений имеет бесконечное множество решений.
Таким образом, прямая лежит в плоскости , и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.
Ответ:
Невозможно найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Пример.
Если прямая пересекается с плоскостью , то найдите координаты точки их пересечения.
Решение.
Составим систему из заданных уравнений . Для нахождения ее решения используем . Метод Гаусса позволит нам не только определить, имеет ли записанная система уравнений одно решение, бесконечное множество решений или не имеет ни одного решения, но и найти решения в случае их наличия.
Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса стало неверным равенством, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда заключаем, что прямая и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, мы не можем говорить о нахождении координат их точки пересечения.
Ответ:
Прямая параллельна плоскости и они не имеют точки пересечения.
Заметим, что если прямой a соответствуют параметрические уравнения прямой в пространстве или канонические уравнения прямой в пространстве , то можно получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a , и после этого находить координаты точки пересечения прямой a и плоскости разобранным способом. Однако проще использовать другой метод, к описанию которого мы и переходим.
Рассмотрим случаи: 1) когда проецирующую поверхность пересекает проецирующая плоскость; 2) когда проецирующую поверхность пересекает плоскость общего положения. В обоих случаях для построения сечения на эпюре используем алгоритм проецирующей фигуры (алгоритм № 1). В первом случае на чертеже уже известны...(Начертательная геометрия)
Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью
На рисунке 2.60 дано построение линии пересечения двух треугольников АВС и DEF с указанием видимых и невидимых участков этих треугольников. Рисунок 2.60 Прямая К,К2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника АВС с плоскостью треугольника DEF. ...(Инженерная графика)
Частные случаи
При умеренных давлениях (Ре « 1000 атм.) жидкую фазу (например, воду) можно полагать несжимаемой (Ре = const). В этом случае система уравнений для этой несжимаемой среды может быть еще более упрощена и приведена к следующему виду: где, а гидростатическими силами (членом уе7) для...(Основы кавитационной обработки многокомпонентных сред)
Частные случаи равновесия в непрерывных системах Барометрическое уравнение
Барометрическое уравнение устанавливает зависимость давления газа по высоте. Существуют восходящие еще к Лапласу многочисленные методы вывода этого уравнения. В данном случае воспользуемся тем, что газ, находящийся в поле силы тяжести, является непрерывной системой, содержащей один компонент - газ с...(Термодинамика в современной химии)
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЗАИМНОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЗАИМНОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Если плоскость является проецирующей, то любая одноименно проецирующая прямая параллельна этой плоскости, потому что в плоскости всегда можно найти одноименно проецирующую прямую. Так, на рис. 67 изображены плоскости: Т 1Щ, ФJL Ш, Г1 Пз. Этим плоскостям будут параллельны прямые: а || Т (а 1 Пг);...(Начертательная геометрия)
ОБЩИЕ СЛУЧАИ. СПОСОБ ПОСРЕДНИКОВ
Для нахождения точек пересечения прямой линии с поверхностью Ф способом посредников желательно прямую заключать в такую плоскость- посредник Т, которая пересекает заданную поверхность Ф по точной линии - прямой или окружности. Обзор и классификация различных видов таких плоскостей даны ранее (см....(Начертательная геометрия)
СПОСОБ ПОСРЕДНИКОВ
Если заданы произвольно обе плоскости общего положения, то задачу можно решить способом посредников в соответствии с алгоритмом № 2. В качестве посредниковвыбирают две плоскости Т и Т1 - проецирующие или уровня (рис. 254). В случае пересечения двух плоскостей алгоритм № 2 запишем так: 1. Выбор Т и Т1....(Начертательная геометрия)
Для определения точки пересечения прямой с плоскостью пользуемся следующим алгоритмом: прямую заключаем во вспомогательную плоскость, находим линию пересечения этих двух плоскостей (заданной и вспомогательной), и линия пересечения плоскостей в пересечении с заданной прямой даст искомую точку. Последним этапом в построении является определение видимости прямой при помощи конкурирующих точек.
Пример1. Плоскость задана следами (рис.70)
1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью необходимо через прямую провести вспомогательную плоскость частного положения, например, фронтально-проецирующую β π 2 , l "" f оβ , f оβ – собирающий след, h оβ х (рис.71).
2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскости М"=h оα ∩ h оβ , N""= f оβ ∩ f оα (рис.72).
3. Определяем точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения MN. К"=М"N"∩l ", К"" – в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К" и l "" .
4. Видимость прямой l в случае задания плоскости следами не определяем.
Пример 2. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью (рис.73).
При построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью задача упрощается, т.к. одна из проекций искомой точки будет лежать на собирающем следе. На рис.73 дана горизонтально-проецирующая плоскость. Искомая точка К будет одновременно принадлежать плоскости α и прямой а .
Пример 3. Плоскость задана плоской фигурой (рис.74).
Через прямую l проводим вспомогательную плоскость частного положения, например, горизонтально-проецирующую β π 1 .l " h оβ , h оβ – собирающий след, f оβ х (рис.75).
2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскостей. М"=А"С"∩ hоβ М"" А""С"" и N"=В"С"∩ hоβ N"" В""С"" (рис. 76).
3. Строим точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения МN. К""= М""N""∩l"". К" находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К"" и М"N" .
4. Определяем видимость прямой относительно ΔАВС с помощью конкурирующих точек.
Определяем видимость относительно плоскости π 2 .Отметим фронтальную проекцию 1"" совпадающую с 2"" . Горизонтальную проекцию 2" отметим на А"С" , а 1" на l" . Горизонтальная проекция 1" лежит перед 2" 2"" не видима относительно π 2 . Точка 1 лежит на прямой l, она видима на π 2 , следовательно, фронтальная проекция l" от 1"2"" до К"" видима, в точке К"" видимость меняется на противоположную.
Определим видимость прямой l относительно плоскости π 1 . Отметим горизонтальную проекцию 3" , совпадающую с горизонтальной проекцией М". М"" А""С"" уже отмечена, 3"" l" ". Фронтальная проекция М"" лежит выше фронтальной проекции 3"" , следовательно, точка М видима относительно π 1 . Точка 3 лежит на l , следовательно, от М"≡3" до К" , горизонтальная проекция l" невидима. В горизонтальной проекции К" видимость меняется на противоположную. За границами ΔАВС прямая l везде видима.
Дана прямая: (1) и плоскость: Ax + By + Cz + D = 0 (2).
Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если прямая (1) и плоскость (2) пересекаются, то координаты точки пересечения удовлетворяют уравнениям (1) и (2):
, .
Подставляя найденное значение t в (1), получим координаты точки пересечения.
1) Если Am + Bn + Cp = 0, а Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0, то и t не существует, т.е. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Они параллельны.
2) Am + Bn + Cp = 0 и Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. В этом случае t может принимать любые значения и , т.е. прямая параллельна плоскости и имеет с ней общую точку, т.е. она лежит в плоскости.
Пример 1. Найти точку пересечения прямой с плоскостью 3x – 3y + 2z – 5 = 0.
3(2t – 1) – 3(4t + 3) + 2·3t – 5 = 0 => -17=0, что невозможно ни при одном t, т.е. прямая и плоскость не пересекаются.
Пример 2. Найти точку пересечения прямой и плоскости: x + 2y – 4z + 1 = 0.
8t + 13 + 2(2t + 1) – 4(3t + 4) + 1 = 0, 0 + 0 = 0. Это верно при любом значении t, т.е. прямая лежит в плоскости.
Пример 3. Найти точку пересечения прямой и плоскости 3x – y + 2z – 5 = 0.
3(5t + 7) – t – 4 + 2(4t + 5) – 5 = 0, 22t + 22 = 0, t = -1, x = 5(-1) + 7 = 2, y = -1 + 4 = 3, z = 4(-1) + 5 = 1, M(2, 3, 1) – точка пересечения прямой и плоскости.
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Углом между прямой и плоскостью называется острый угол ц между прямой и ее проекцией на плоскость.
Пусть заданы прямая и плоскость:
и .
Пусть прямая пересекает плоскость и образует с ней угол ц (). Тогда б = 90 0 – ц или б = 90 0 + ц – это угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой . Но . Значит
(3).
а) Если L P, то - условие перпендикулярности прямой и плоскости.
б) Если L||P, то - условие параллельности прямой и плоскости.
в) Если прямая L||P и при этом точка M0(x0, y0, z0) P, то прямая лежит в данной плоскости. Аналитически:
- условия принадлежности прямой и плоскости.
Пример. Дана прямая и точка М 0 (1, 0, –2). Через точку М 0 провести плоскость, перпендикулярную данной прямой. Уравнение искомой плоскости ищем в виде: A(x – 1) + B(y – 0) + C(z + 2) = 0. В данном случая , ,
5(x – 1) – 5y + 5(z + 2) = 0, - x – y + z + 3 = 0.
Пучок плоскостей.
Пучок плоскостей – множество всех плоскостей, проходящих через заданную прямую – ось пучка.
Чтобы задать пучок плоскостей, достаточно задать его ось. Пусть уравнение этой прямой задано в общем виде:
.
Составить уравнение пучка – значит составить уравнение, из которого можно получить при дополнительном условии уравнение любой плоскости пучка, кроме, б.м. одной. Умножим II уравнение на л и сложим с I уравнением:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + л(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) или
(A 1 + лA 2)x + (B 1 + лB 2)y + (C 1 + лC 2)z + (D 1 + лD 2) = 0 (2).
л – параметр – число, которое может принимать действительные значения. При любом выбранном значении л уравнения (1) и (2) линейные, т.е. это – уравнения некоторой плоскости.
1. Покажем, что эта плоскость проходит через ось пучка L. Возьмем произвольную точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Следовательно, М 0 Р 1 и М 0 Р 2 . Значит:
3x – y + 2z + 9 + 17x + 17z – 51 = 0; 20x – y + 19z – 42 = 0 .
Пример 3 (Э). Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости x – 2y + z + 5 = 0. ; 3x – 2y + z – 3 + л(x – 2z) = 0; (3 + л)x – 2y + (1 – 2 л)z – 3 = 0; ; ; л = 8; 11x – 2y – 15z – 3 = 0 .
Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.
Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:
1)
проведению вспомогательной плоскости (Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи
) через данную прямую;
2)
нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;
3)
определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.
Пример 1.
На (фиг.250,а) даны плоскость δ
(δ 1
) и прямая АВ
(А 1 В 1
и А 2 В 2
); требуется определить точку их пересечения.
В этом случае нет надобности прибегать к вспомогательной плоскости, так как данная плоскость δ
- горизонтально - проектирующая. По свойству проектирующих плоскостей горизонтальная проекция точки пересечения, лежащая в плоскости δ
, сливается с горизонтальной проекцией δ 1
.
Поэтому точка К 1
пересечения горизонтальной проекции А 1 В 1
прямой АВ
с горизонтальной проекцией δ 1
есть горизонтальная проекция точки пересечения К
; фронтальная проекция К 2
определяется путем проведения вертикальной линии связи до пересечения ее с фронтальной проекцией А 2 В 2
.
Пример 2
. На (фиг.250,б) приведен пример пересечения прямой АВ
с фронтально - проектирующей плоскостью δ
.
Пример 1.
Даны: плоскость общего положения а и прямая общего положения АВ
(А 1 В 1
А 2 В 2
); требуется найти точку их пересечения (фиг.251,а).
Проводим через прямую АВ
какую - либо вспомогательную плоскость, например горизонтально - проектирующую
плоскость δ
(δ 1
), как показано на (фиг.251,б); она пересечет плоскость a
по прямой NM
(N 1 M 1
, N 2 М 2
), которая, в свою очередь, пересечет прямую АВ
(А 1 В 1
А 2 В 2
) в точке С
(С 1 С 2
), что видно на (фиг.251,в). Точка С
есть точка пересечения прямой АВ
с плоскостью а
.
Пример 2.
На (фиг.252) приведен пример нахождения проекций точки пересечения прямой AB
c плоскостью общего положения при помощи горизонтали h
.
Пример 3.
Даны: треугольник ABC
и прямая NM
; требуется определить точку их пересечения (фиг.253,а).
Возьмем в качестве вспомогательной плоскости горизонтально - проектирующую плоскость δ
, тогда горизонтальная проекция ог сольется с горизонтальной проекцией N 1 M 1
прямой NM
и пересечет проекции сторон треугольника в точках Е 1
и F 1
(фиг.253,б). Отрезок Е 1 F 1
будет горизонтальной проекцией линии пересечения. Затем находим фронтальную проекцию линии пересечения: при помощи вертикальных линий связи получаем точки Е 2
и F 2
, проводим через них прямую E 2 F 2
, которая будет фронтальной проекцией линии пересечения.
Прямая E 2 F 2
пересекает прямую N 2 М 2
в точке К 2
. Точка К 2
будет фронтальной проекцией точки пересечения прямой MN
с прямой EF
; горизонтальную проекцию K 1
этой точки определяем при помощи вертикальной линии связи.
Точка К (K 1 , К 2
) будет точкой пересечения данной прямой MN
с данным треугольником ABC
, как одновременно им принадлежащая, потому что прямая MN
пересекается в ней с прямой EF
, лежащей в плоскости треугольника ABC
.
Упражнение 1
Построить комплексный чертеж треугольника ABC
по данным координатам вершин. Найти натуральную величину сторон треугольника и построить его в натуральную величину. По этим же координатам построить наглядное изображение
Упражнение 2
По данным фронтальной проекции многоугольника и горизонтальным проекциям двух смежных сторон его достроить горизонтальную проекцию многоугольника.
В плоскости многоугольника построить проекции произвольного треугольника. Построить точку вне многоугольника, но лежащую в одной плоскости с ним (