Скалярное произведение векторов равно 1. Скалярное произведение векторов

): ⟨ a | b ⟩ {\displaystyle \langle a|b\rangle }

В простейшем случае обычного пространства скалярное произведение ненулевых векторов и b {\displaystyle \mathbf {b} } определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними :

(a , b) = | a | | b | cos ⁡ (θ) {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b})=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta)}

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок). Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю .

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств , то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры . Данное выше геометрическое определение скалярного произведения в общем случае непригодно, так как неясно, что подразумевается под длинами векторов и величиной угла между ними. Поэтому в современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него - длины и углы . В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов , многомерных и бесконечномерных пространств , в тензорной алгебре .

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре , теории многообразий , механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведения вектора силы на вектор перемещения .

Определение

Определение в евклидовом пространстве

В n {\displaystyle n} -мерном вещественном евклидовом пространстве векторы определяются своими координатами - наборами n {\displaystyle n} вещественных чисел в ортонормированном базисе . Определить скалярное произведение векторов можно так :

(a , b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}}

Проверка показывает, что все три аксиомы выполнены.

Например, скалярное произведение векторов { 1 , 3 , − 5 } {\displaystyle \{1,3,-5\}} и { 4 , − 2 , − 1 } {\displaystyle \{4,-2,-1\}} будет вычислено так:

{ 1 , 3 , − 5 } ⋅ { 4 , − 2 , − 1 } = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ (− 2) + (− 5) ⋅ (− 1) = 4 − 6 + 5 = 3. {\displaystyle {\begin{aligned}\ \{1,3,-5\}\cdot \{4,-2,-1\}&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}}

Для комплексных векторов a = { a 1 , a 2 … a n } , b = { b 1 , b 2 … b n } {\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{1},a_{2}\dots a_{n}\},\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2}\dots b_{n}\}} определим аналогично :

(a , b) = ∑ k = 1 n a k b k ¯ = a 1 b 1 ¯ + a 2 b 2 ¯ + ⋯ + a n b n ¯ {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}} .

Пример (для n = 2 {\displaystyle n=2} ): { 1 + i , 2 } ⋅ { 2 + i , i } = (1 + i) ⋅ (2 + i ¯) + 2 ⋅ i ¯ = (1 + i) ⋅ (2 − i) + 2 ⋅ (− i) = 3 − i . {\displaystyle \{1+i,2\}\cdot \{2+i,i\}=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.}

Связанные определения

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия :

Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма :

| a | = (a , a) {\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a})}}}

(термин "длина" обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

Для любых элементов a , b {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} } векторного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство:

| (a , b) | 2 ⩽ (a , a) (b , b) {\displaystyle \vert (\mathbf {a} ,\mathbf {b})\vert ^{2}\leqslant (\mathbf {a} ,\mathbf {a})(\mathbf {b} ,\mathbf {b})}

В случае, если пространство является псевдоевклидовым , понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

| (a , b) | = | a | | b | ch ⁡ φ . {\displaystyle |(\mathbf {a} ,\mathbf {b})|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatorname {ch} \varphi .}

Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством .
- При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым , а комплексное - эрмитовым или унитарным пространством.
Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой . Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

Свойства

Теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения: | B C | 2 = B C → 2 = (A C → − A B →) 2 = ⟨ A C → − A B → , A C → − A B → ⟩ = A C → 2 + A B → 2 − 2 ⟨ A C → , A B → ⟩ = | A B | 2 + | A C | 2 − 2 | A B | | A C | cos ⁡ A ^ {\displaystyle |BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}}
Оценка угла между векторами: в формуле (a , b) = | a | ⋅ | b | ⋅ cos ⁡ ∠ (a , b) {\displaystyle (\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b})=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b})}} знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.
Проекция вектора на направление, определяемое единичным вектором e {\displaystyle \mathbf {e} } : a e = (a , e) = | a | | e | cos ⁡ ∠ (a , e) = | a | cos ⁡ ∠ (a , e) {\displaystyle a_{e}=(\mathbf {a} ,\mathbf {e})=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e})}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e})}} , так как | e | = 1. {\displaystyle |\mathbf {e} |=1.}
Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора a {\displaystyle \mathbf {a} \ } и b {\displaystyle \mathbf {b} \ } , равна

(a , a) (b , b) − (a , b) 2 {\displaystyle {\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a})(\mathbf {b} ,\mathbf {b})-(\mathbf {a} ,\mathbf {b})^{2}}}\ }

Угол между векторами

Рассмотрим два данных вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Отложим от произвольно выбранной точки $O$ векторы $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$, тогда угол $AOB$ называется углом между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Отметим здесь, что если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены или один из них является нулевым вектором, тогда угол между векторами равен $0^0$.

Обозначение: $\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}$

Понятие скалярного произведения векторов

Математически это определение можно записать следующим образом:

Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:

Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).

Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть $cos{90}^0=0$).

Отметим также, что скалярное произведение больше нуля, если угол между этими векторами острый (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ } >0$), и меньше нуля, если угол между этими векторами тупой (так как ${cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)\ }

С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.

Определение 2

Скалярным квадратом вектора $\overrightarrow{a}$ называется скалярное произведение этого вектора самого на себя.

Получаем, что скалярный квадрат равен

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{a}\right|{cos 0^0\ }=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{a}\right|={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\]

Вычисление скалярного произведения по координатам векторов

Помимо стандартного способа нахождения значения скалярного произведения, который вытекает из определения, существует еще один способ.

Рассмотрим его.

Пусть векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ имеют координаты $\left(a_1,b_1\right)$ и $\left(a_2,b_2\right)$, соответственно.

Теорема 1

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равно сумме произведений соответствующих координат.

Математически это можно записать следующим образом

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2\]

Доказательство.

Теорема доказана.

Эта теорема имеет несколько следствий:

Следствие 1: Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a_1a_2+b_1b_2=0$

Следствие 2: Косинус угла между векторами равен $cos\alpha =\frac{a_1a_2+b_1b_2}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}\cdot \sqrt{a^2_2+b^2_2}}$

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых трех векторов и действительного числа $k$ справедливо:

${\overrightarrow{a}}^2\ge 0$

Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).

Переместительный закон: $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}$.

Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).

Распределительный закон:

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}$. \end{enumerate}

По теореме 1, имеем:

\[\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3==\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\]

Сочетательный закон: $\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})$. \end{enumerate}

По теореме 1, имеем:

\[\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\]

Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, если $\left|\overrightarrow{a}\right|=3$ и $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$, а угол между ними равен ${{30}^0,\ 45}^0,\ {90}^0,\ {135}^0$.

Решение.

Используя определение 1, получаем

Для ${30}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({30}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Для ${45}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({45}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\]

Для ${90}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({90}^0\right)\ }=6\cdot 0=0\]

Для ${135}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({135}^0\right)\ }=6\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3\sqrt{2}\]

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены "на блюдечке с голубой каёмочкой", то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1.

Определение 2 . Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

Задачу с применением этой формулы решим после следующего важного теоретического пункта.

Определение скалярного произведения векторов через координаты

То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами.

Определение 3. Скалярное произведение векторов - это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат .

На плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

Пример 2. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору .

Решение. Находим скалярное произведение векторов, складывая попарные произведения их координат:

Теперь нам требуется приравнять полученное скалярное произведение произведению длины вектора на проекцию вектора на ось, параллельную вектору (в соответствии с формулой ).

Находим длину вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

Составляем уравнение и решаем его:

Ответ. Искомая численная величина равна минус 8.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом - после разбора свойств скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые векторы.

Свойства скалярного произведения векторов

Алгебраические свойства

1. (переместительное свойство : от перемены местами перемножаемых векторов величина их скалярного произведения не меняется).

2. (сочетательное относительно числового множителя свойство : скалярное произведение вектора, умноженного на некоторый множитель, и другого вектора, равно скалярному произведению этих векторов, умноженному на тот же множитель).

3. (распределительное относительно суммы векторов свойство : скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений первого вектора на третий вектор и второго вектора на третий вектор).

4. (скалярный квадрат вектора больше нуля ), если - ненулевой вектор, и , если - нулевой вектор.

Геометрические свойства

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.

На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла - φ 1 и φ 2 . Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π , то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ 1 .

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами - прямой (90 градусов или π /2 ), если скалярное произведение этих векторов равно нулю :

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое - меньше π скалярное произведение положительно .

3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое - больше π /2 ) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно .

Пример 3. В координатах даны векторы:

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.

Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .

Пример 4. Даны длины двух векторов и угол между ними:

Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

Теперь вычислим каждое слагаемое:

Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:

Ответ: мы получили значение λ = 1,8 , при котором векторы ортогональны.

Пример 5. Доказать, что вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору

Решение. Чтобы проверить ортогональность, перемножим векторы и как многочлены, подставляя вместо его выражение, данное в условии задачи:

Для этого нужно каждый член (слагаемое) первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить:

В полученном результате дробь за счёт сокращается. Получается следующий результат:

Вывод: в результате умножения получили нуль, следовательно, ортогональность (перпендикулярность) векторов доказана.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Даны длины векторов и , a угол между этими векторами равен π /4 . Определить, при каком значении μ векторы и взаимно перпендикулярны.

Матричное представление скалярного произведения векторов и произведение n-мерных векторов

Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца:

Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц :

Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.

В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов - произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

Пример 7. Найти скалярные произведения пар векторов

используя матричное представление.

Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

Аналогично представляем вторую пару и находим:

Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 2.

Угол между двумя векторами

Вывод формулы косинуса угла между двумя векторами очень красив и краток.

Чтобы выразить скалярное произведение векторов

(1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:

То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины . Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:

Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:

Пример 8. Даны три точки A (1;1;1), B (2;2;1), C (2;1;2).

Найти угол .

Решение. Находим координаты векторов:

По формуле косинуса угла получаем:

Следовательно, .

Пример 9. Даны два вектора

Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.

2.Разность

Лекция: Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Координаты вектора

Итак, как уже говорилось ранее, вектора – это направленный отрезок, у которого есть собственное начало и конец. Если начало и конец представлены некоторыми точками, значит на плоскости или в пространстве у них есть свои координаты.

Если же у каждой точки есть свои координаты, то мы можем получить и координаты целого вектора.

Допустим, мы имеем некоторый вектор, у которого начало и конец вектора имеют следующие обозначения и координаты: A(A x ; Ay) и B(B x ; By)

Чтобы получить координаты данного вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала:

Для определения координаты вектора в пространстве следует воспользоваться следующей формулой:

Скалярное произведение векторов

Существует два способа определения понятия скалярного произведения:

Геометрический способ. Согласно ему, скалярное произведение равно произведению величин данных модулей на косинус угла между ними.

Алгебраический смысл. С точки зрения алгебры, скалярное произведение двух вектором – это некая величина, которая получается в результате суммы произведений соответствующих векторов.

Если векторы заданы в пространстве, то следует воспользоваться аналогичной формулой:

Свойства:

Если умножить два одинаковых вектора скалярно, то их скалярное произведение будет не отрицательным:

Если же скалярное произведение двух одинаковых векторов получилось равным нулю, то эти векторы считаются нулевыми:

Если некоторый вектор умножить на себя же, то скалярное произведение получится равным квадрату его модуля:

Скалярное произведение имеет коммуникативное свойство, то есть от перестановки векторов скалярное произведение не изменится:

Скалярное произведение ненулевых векторов может быть равно нулю только в том случае, если вектора перпендикулярны друг другу:

Для скалярного произведения векторов справедлив переместительный закон в случае с умножением одного из векторов на число:

При скалярном произведении так же можно использовать дистрибутивное свойство умножения:

Угол между векторами

Угол между векторами

Рисунок 1.

Обозначение: $\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}$

Понятие скалярного произведения векторов

Математически это определение можно записать следующим образом:

Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:

Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).

Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть $cos{90}^0=0$).

С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.

Определение 2

Скалярным квадратом вектора $\overrightarrow{a}$ называется скалярное произведение этого вектора самого на себя.

Получаем, что скалярный квадрат равен

Вычисление скалярного произведения по координатам векторов

Рассмотрим его.

Пусть векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ имеют координаты $\left(a_1,b_1\right)$ и $\left(a_2,b_2\right)$, соответственно.

Теорема 1

Математически это можно записать следующим образом

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2\]

Доказательство.

Теорема доказана.

Эта теорема имеет несколько следствий:

Следствие 1: Векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a_1a_2+b_1b_2=0$

Следствие 2: Косинус угла между векторами равен $cos\alpha =\frac{a_1a_2+b_1b_2}{\sqrt{a^2_1+b^2_1}\cdot \sqrt{a^2_2+b^2_2}}$

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых трех векторов и действительного числа $k$ справедливо:

${\overrightarrow{a}}^2\ge 0$

Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).

Переместительный закон: $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}$.

Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).

Распределительный закон:

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}$. \end{enumerate}

По теореме 1, имеем:

Сочетательный закон: $\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})$. \end{enumerate}

По теореме 1, имеем:

\[\left(k\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b}=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\]

Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов

Пример 1

Решение.

Используя определение 1, получаем

Для ${30}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({30}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Для ${45}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({45}^0\right)\ }=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\]

Для ${90}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({90}^0\right)\ }=6\cdot 0=0\]

Для ${135}^0:$

\[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=6{cos \left({135}^0\right)\ }=6\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3\sqrt{2}\]