Практическая картография. Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера Принцип и применение

Тема 4. ЗОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА

4.1. РАВНОУГОЛЬНАЯ ПОПЕРЕЧНО-ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ГАУССА

Для уменьшения неизбежных искажений, возникающих при изображении значительных территорий на плоскости, прибегают к картографированию территорий по частям. При создании топографических карт (кроме карты в масштабе 1: 1 000 000) в Украине и ряде других стран применяется равноугольная поперечная цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера.

Карл Фридрих (1777-1855) Гаусс в 1825 г. разработал теорию отображения поверхности эллипсоида вращения на плоскости с сохранением подобия в бесконечно малых частях. В 1912 г. А. Крюгер вывел рабочие формулы этой проекции.

Образуется проекция перенесением поверхности эллипсоида на боковую поверхность эллиптического цилиндра, ось которого перпендикулярна оси вращения Земли.

Рис. 4.1. Проекция Гаусса

Следовательно, проекция Гаусса составляется с учетом сжатия Земли. На один цилиндр переносится узкая полоса земной поверхности, занимающая по долготе 6°
Цилиндр касается глобуса по среднему меридиану зоны. Каждая зона соответствует колонке листов карты масштаба 1: 1 000 000 в международной разграфке, т.е. каждая зона ограничивается меридианами, кратными 6° долготы. Зоны нумеруются от Гринвичского меридиана на восток. Первая зона расположена между меридианами 0 и 6°. Всего зон - 60.
Поверхность глобуса на боковую поверхность цилиндра переносится с сохранением равенства углов на местности и на карте . Следовательно, проекция Гаусса равноугольна . Искажения длин будут возрастать по мере удаления от экватора и меридиана касания.

В каждой зоне осевой меридиан (как меридиан касания) изображается прямой линией в натуральную величину. Остальные меридианы зоны изображаются кривыми линиями, причем кривизна их увеличивается по мере удаления от осевого меридиана.
На глобусе все меридианы имеют одинаковую длину. Следовательно, все меридианы в зоне, кроме среднего, вытянуты по сравнению с соответствующими меридианами на глобусе. Экватор изображается прямой линией, а остальные параллели — кривыми. Все параллели, в том числе и экватор, растянуты пропорционально растяжению меридианов.

Рис. 4.2. Схематическое изображение зоны Гаусса на плоскости.

В проекции Гаусса максимальные искажения длин на экваторе на границе каждой зоны равны 0,137% (137 м на 100 км расстояния).
При решении многих задач геодезии такими искажениями пренебрегают и проекцию считают не только равноугольной , но и равнопромежуточной , и равновеликой , т. е. практически отсутствуют искажения углов, расстояний и площадей . Карты этой проекции принимают за план.
Каждая зона Гаусса по меридианам и параллелям делится на отдельные листы карт. Рамками листов карт являются меридианы и параллели.
В проекции Гаусса составляются топографические карты масштаба 1: 500 000 и крупнее.
На картах масштаба 1: 500 000 нанесена сетка геодезических координат, а на рамках этой карты даны выходы километровой сетки.
На картах масштаба 1: 200 000 и крупнее нанесена километровая сетка системы прямоугольных координат Гаусса.

4.2. СИСТЕМА ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА

На топографических картах масштаба 1: 500 000 и крупнее кроме геодезической сетки наносится прямоугольная координатная сетка . Приняв осевой (средний) меридиан в каждой зоне за ось X (абсцисс), а экватор - за ось У (ординат), а их пересечение за начало координат, получим систему плоских прямоугольных координат Гаусса для данной зоны. В топографии и геодезии ориентирование производится по северу со счетом углов по ходу часовой стрелки. Поэтому для сохранения знаков тригонометрических функций положение осей координат в зоне Гаусса повернуто на 90° относительно осей, принятых в декартовой системе прямоугольных координат. За положительное направление осей приняты: для оси X - направление на север, для оси Y - на восток. Положение точки А в координатной зоне определяется ее расстоянием х А и y A от осей координат. На территории Украины все абсциссы (расстояния от экватора) положительны. Что касается ординат, то они в каждой зоне могли бы быть как положительными, так и отрицательными. Для удобства работы с картами условились значение ординаты Y осевого меридиана каждой зоны принимать равным 500 км , т. е. начало координат как бы вынесли к западу за пределы зоны.

Рис. 4.3. Система плоских прямоугольный координат Гаусса.

Поскольку в каждой зоне числовые значения ординат повторяются, то для того, чтобы по координатам точки можно было определить, к какой зоне она относится, к значению ординаты Y слева приписывается номер зоны.
Например, координаты точки х = 6 346 650 м , у = 4 522 800 м означают, что точка расположена к северу от экватора на расстоянии 6 346 650 м и к востоку от осевого меридиана 4-й зоны на расстоянии 22 800 м (522 800 м - 500 000 м = 22 800 м ).
Другой пример. Координаты х = 5 862 300 м , у = 15 323 500 м . Это означает, что точка расположена в 5 862 300 м к северу от экватора и в 176 500 м к западу от осевого меридиана 15-й зоны (500 000 м — 323 500 м = 176 500 м ).
Для того, чтобы значительно упростить определение прямоугольных координат, на плоскости (на карте) параллельно координатным осям (осевому меридиану и экватору) проводят прямые линии через целое число километров, поэтому прямоугольную координатную сетку часто называют километровой , а ее линии — километровыми.
Все линии километровой сетки на картах подписывают цифрами, причем линии, ближайшие к углам рамки листа карты, подписывают полным числом километров, остальные сокращенно - только последними двумя цифрами, подразумевая остальные цифры. Таким образом, подпись 6081 сверху горизонтальной километровой линии означает, что она проходит в 6081 км к северу от экватора, а подпись 4322 возле расположенной справа вертикальной километровой линии означает, что эта линия находится в 4-й зоне и проходит в 178 км западнее осевого меридиана зоны (500 км - 322 км = 178 км ).
С помощью километровой сетки можно быстро находить координаты объектов, наносить точки по координатам, указывать местоположение объектов на карте. Прямоугольные координаты точки, через которую на карте проходят линии километровой сетки получают сразу, прочитав оцифровку координатных линий на рамках карты.

Рис. 4.3. Оцифровка линий прямоугольной координатной сетки.

Координаты точек, лежащих внутри клеток сетки, определяют по координатам ближайших к точке линий сетки и приращению координат точек относительно этих линий. Приращения координат Δх и Δу измеряют с помощью циркуля-измерителя и линейного масштаба карты, суммируют с координатами километровых линий.

х А = 6 136 000 х В = 613328
у А = 7 316 000 у В = 7313450

Рис. 4.5. Положение и оцифровка линий прямоугольной координатной сетки на листе карты масштаба 1: 100 000 и определение прямоугольных координат точек

Приращения координат могут быть измерены с помощью координатомера — небольшого угольника с двумя перпендикулярными сторонами. По внутренним ребрам линеек нанесены шкалы, длины которых равны длине стороны координатных клеток карты данного масштаба. Горизонтальная шкала совмещается с нижней линией квадрата (в котором находится точка), а вертикальная шкала должна проходить через данную точку. По шкалам определяют расстояния от точки до километровых линий (рис. 6.3).

х А = 6135 350 у А = 5577 701

Рис. 4.6. Измерение прямоугольных координат точек с помощью
координатомера

Чтобы нанести на карту точку по заданным прямоугольным координатам , поступают следующим образом: по значению абсциссы x , принимая во внимание только целое число километров, находят горизонтальную координатную линию, к северу от которой будет находиться точка. По значению ординаты y аналогичным образом определяют вертикальную координатную линию, к востоку от которой будет расположена искомая точка, и находят нужный квадрат. Откладывают измерителем по линейному масштабу оставшиеся доли километров (приращения координат): по обеим горизонтальным сторонам квадрата к востоку — приращение ординаты Δу , а по обеим вертикальным линиям к северу — приращение абсциссы Δх . Через полученные точки проводят вертикальную и горизонтальную прямые, в точке пересечения которых находится заданная точка.

Для быстрого указания местоположения объекта на данном листе карты используют сокращенные координаты юго-западного угла соответствующего квадрата километровой сетки. От обозначений обеих километровых линий берут две последние цифры, напечатанные крупным шрифтом, и записывают их так, чтобы две первые цифры относились к южной стороне, а две последние — к западной стороне квадрата . Например, на рисунке 4.3 г. Крута находится в квадрате 8020, а населенный пункт Бандурка — в квадрате 8022.

Дополнительная километровая сетка наносится на границе соседних зон. Так как вертикальные километровые линии сетки параллельны своему осевому меридиану зоны, а осевые меридианы соседних зон между собой не параллельны, то при склейке двух листов карты, находящихся на стыке двух зон, вертикальные километровые линии обеих сеток будут расположены под некоторым углом друг к другу. При определении координат точек, расположенных в двух смежных зонах, необходимо координаты объектов одной зоны перевычислять в другую зону. Это трудоемкая работа, требующая наличия специальных таблиц и вычислительной техники.

Рис. 4.7. Взаимное расположение километровых линий сети смежных зон (а) и дополнительная координатная сетка (б)

Чтобы устранить это неудобство, в каждой зоне на всех листах карт, расположенных в пределах 2° к востоку и к западу от границы зоны, наносят кроме километровой сетки своей зоны также выводы километровой сетки соседней (западной или восточной) зоны в виде черточек за внешней рамкой. Подписи дополнительной сети делаются с наружной стороны внешней рамки.
Наличие дополнительной сетки на карте позволяет графически перевычислять координаты объектов (целей) одной зоны в другую зону. Чтобы построить на карте дополнительную сетку, необходимо соединить прямой линией выходы дополнительной координатной сетки с одинаковыми значениями по восточной и западной рамкам, а также по южной и северной рамкам.

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ТОЧЕК,
ЗАДАННЫХ НА КАРТЕ

Каждый лист карт масштаба 1: 1 000 000 и крупнее ограничен меридианами и параллелями. Значения географических координат подписываются у углов рамки листа карты. Кроме того, вдоль сторон рамки показываются (в масштабе карты) изображения дуг меридианов и параллелей, соответствующие определенному числу минут широты и долготы.

Рис. 4.8. Оформление рамки листа топографической карты.

Географические координаты углов внутренней рамки листа (северо-восточного, юго-восточного, юго-западного, северо-западного) подписаны на карте .
Рамка имеет деления на отрезки, соответствующие одной минуте широты (на западной и восточной рамках) и одной минуте долготы (на северной и южной рамках). Минутные отрезки представлены на карте в виде длинных пунктиров.
Для определения по карте географических координат точки проводят ближайшую к ней с юга параллель и ближайший с запада меридиан. Искомая широта будет складываться из широты проведенной параллели и приращения широты точки относительно этой параллели. Аналогично можно получить и долготу точки. Приращения широты и долготы обычно определяют по секундным отметкам, нанесенных рядом с минутными делениями или методом интерполяции.
Чтобы определить приращения координат методом интерполяции необходимо измерить на карте длину одной минуты широты и долготы, а также расстояние от точки до ближайшей с юга параллели и от точки до ближайшего с запада меридиана. По этим данным составляются пропорции и определяются приращения координат.
Например:
На карте масштаба 1: 25 000 длина минутного штриха по долготе равна 42 мм . Расстояние от точки до ближайшего западного меридиана равно 20 мм . Найти приращение долготы в секундах.
Составляем пропорцию:

60 сек соответствует 43 мм
х сек соответствует 20 мм
х = (60×20):43 = 27,9 ≈ 28 сек

При определении географических координат точек по картам масштабов 1: 500 000 и 1: 1 000 000 применяют специальную палетку . Она представляет собой вычерченную на прозрачной бумаге систему прямых линий, расстояния между которыми соответствуют 5" широты и долготы. Такую палетку накладывают на лист карты так, чтобы линии ее, кратные целым градусам широты и долготы, совпали с соответствующими линиями картографической сетки. После этого оценивают положение определяемой точки относительно ближайших западной и южной линий палетки.

Задания и вопросы для самоконтроля

Какие проекции применяют для создания топографических карт в Украине?
В чем сущность создания проекции Гаусса?
Почему проекция Гаусса носит название: «Равноугольная поперечно-цилиндрическая»
Как изображаются меридианы и параллели в проекции Гаусса?
На каких участках карты проекции Гаусса искажения максимальны?
Для каких целей служат рамки листов карт проекции Гаусса?
Что принимается за оси координат (абсцисса и ордината) в системе плоских прямоугольных координат Гаусса?
Что означает запись значений координат: х = 6 346 650, у = 4 522 800?
В каких целях на топографических картах нанесена километровая сетка?
Как определить с помощью топографической карты плоские прямоугольные координаты заданной точки?
Для каких целей используют сокращенные координаты?
В чем состоит решение прямой геодезической задачи?
В чем состоит решение обратной геодезической задачи?
Какой порядок определения географических координат на топографической карте?

Чтобы изобразить земную поверхность на плоскости, вначале переходят от ее физической формы к математической, в качестве которой принимают поверхность эллипсоида вращения (сфероида) или шара, и только затем математическую поверхность Земли изображают на плоскости.

Так как без искажений поверхность шара (или эллипсоида) изобразить на плоскости невозможно, то строят условные изображения земной поверхности, основанные на некоторых заранее принятых математических зависимостях между координатами точек на шаре и их изображениями на плоскости. Такие способы условного изображения земной поверхности на плоскости называют картографическими проекциями.

Разработаны различные виды проекций по характеру искажений. В одних проекциях искажаются все элементы - горизонтальные углы, линии, но сохраняется отношение площадей. Такие проекции называют равновеликими (эквивалентными). В других не искажаются углы, вследствие чего сохраняется подобие бесконечно малых фигур. Такие проекции называют равноугольными (конформными). Для составления топографических карт на территории б. СССР с 1928 г. принята равноугольная проекция Гаусса-Крюгера.

Применяя проекцию Гаусса-Крюгера, всю земную поверхность делят меридианами на шести- или трехградусные зоны (рис. 11.1, а). Это вызвано тем, что при большом удалении точки осевого меридиана получают большие искажения в этой точке на карте. Выбор зоны шириной и 3 или 6° долготы зависит от масштаба составляемой карты. При составлении карты в масштабе 1:10 000 или мельче применяют шестиградусную зону, а при составлении карты в масштабе 1: 5000 или крупнее - трехградусную.

Шестиградусные зоны нумеруют арабскими цифрами, начиная от гринвичского меридиана, с запада на восток. Так как западная граница первой зоны совпадает с гринвичским (начальным) меридианом, то долготы осевых меридианов зон будут: 3, 9, 15, 21 o … Долготу осевого меридиана можно определить по формуле:

Всего на территории б. СССР создано 29 шестиградусных зон с номерами от 4 по 32 и соответственно установлено 29 осевых меридианов со стандартными долготами 21, 27,…, 183, 189°.

Трехградусные зоны располагаются на земной поверхности так, что все осевые и граничные меридианы шестиградусных зон являются осевыми меридианами трехградусных зон. Следовательно, долготы осевых меридианов трехградусных зон кратны трем.

Системы координат в каждой зоне проекции Гаусса-Крюгера совершенно одинаковы: плоские прямоугольные координаты х и у, вычисленные по геодезическим (географическим) координатам В и L в любой координатной зоне, имеют одни и те же значения. В проекции Гаусса-Крюгера осевой меридиан, представляющий ось абсцисс (х), и экватор - ось ординат (у), изображаются взаимно перпендикулярными прямыми линиями, а остальные меридианы - кривыми, сходящимися в полюсах (рис. 11. 1,6). Все абсциссы точек в северных частях зон (к северу от экватора) положительные. Чтобы все ординаты были положительные, ко всем ординатам (отрицательным и положительным) прибавляют 500 км. Кроме того, для полного определения положения точки на земной поверхности впереди измененной ординаты пишут номер зоны. Например, в зоне 7 точки А и В имеют действительные ординаты: у А = +14 837,4 м, у в = -206368,7 м. Преобразованные ординаты будут на 7500000 м больше, т.е. у a = 7514 Х37,4 м, у в = 7293631,3 м. Абсциссы точек на всей территории России положительны, их оставляют без изменения.

В пеших путешествиях и велопоездках незаменимым спутником исследователя является топографическая карта. Одной из задач картографии (одной из дисциплин такой науки как геодезия ) является изображение криволинейной поверхности Земли (фигуры Земли) на плоской карте. Для решения этой задачи необходимо выбрать эллипсоид — форму трехмерного тела, приближенно соответствующего земной поверхности, датум — начальную точку системы координат (центр эллипсоида) и начальный меридиан (англ. prime meridian ) и проекцию — способ изображения поверхности этого тела на плоскости.

Эллипсоиды и датумы

В разное время для построения карт использовались различные варианты представления поверхности Земли в виде сферы или эллипсоида.

Представление Земли в виде сферы радиусом 6378137 метра (либо 6367600 метров) позволяет определить координаты любой точки на земной поверхности в виде двух чисел — широты $\phi$ и долготы $\lambda$:

Для земного эллипсоида в качестве (географической) широты используется понятие геодезическая широта (англ. geodetic latitude ) φ — угол, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью его экватора, причем нормаль не проходит через центр эллипсоида за исключением экватора и полюсов:

Значение долготы (англ. longitude ) λ зависит от выбора начального (нулевого) меридиана для эллипсоида.
В качестве параметров эллипсоида обычно используются радиус большой (экваториальной) полуоси a и сжатие f .
Сжатие $f = {{a-b} \over a}$ определяет сплюснутость эллипсоида у полюсов.

Одним из первых эллипсоидов был эллипсоид Бесселя (Bessel ellipsoid, Bessel 1841 ), определенный из измерений в 1841 году Фридрихом Бесселем (Friedrich Wilhelm Bessel ), с длиной большой полуоси a = 6377397,155 м и сжатием f = 1:299,152815 . В настоящее время он используется в Германии, Австрии, Чехии и некоторых азиатских и европейских странах.

датум Potsdam (PD)

Ранее для построения карт в проекции UTM использовался международный эллипсоид (International ellipsoid 1924 , Hayford ellipsoid ) с длиной большой (экваториальной) полуоси a = 6378388 м и сжатием f = 1:297,00 , предложенный американским геодезистом Джоном Филлмором Хейфордом ( в 1910 году.

Джон Филлмор Хейфорд

датум ED 50 (European Datum 1950 )

эллипсоид — International ellipsoid 1924
Greenwich prime meridian )

Для выполнения работ на всей территории СССР с 1946 года (постановление Совета Министров СССР от 7 апреля 1946 г. № 760) использовалась геодезическая система координат СК-42 (Пулково 1942) , основанная на эллипсоиде Красовского с длиной большой (экваториальной) полуоси a = 6378245 м и сжатием f = 1:298,3 . Этот референц-эллипсоид назван в честь советского астронома-геодезиста Феодосия Николаевича Красовского. Центр этого эллипсоида сдвинут по отношению у центру масс Земли примерно на 100 метров для максимального соответствия поверхности Земли на европейской территории СССР.

датум Пулково-1942 (Pulkovo 1942)

эллипсоид — Красовского (Krassowsky 1940 )
нулевой меридиан — гринвичский меридиан (Greenwich prime meridian )

В настоящее время (в том числе и в системе GPS ) широко используется эллипсоид WGS84 (World Geodetic System 1984) с длиной большой полуоси a = 6378137 м, сжатием f = 1:298,257223563 и эксцентрисетом e = 0,081819191 . Центр этого эллипсоида совпадает с центром масс Земли.

датум WGS84 (EPSG:4326)

эллипсоид — WGS84
нулевой меридиан — опорный меридиан (IERS Reference Meridian (International Reference Meridian)) , проходящий в 5,31″ к востоку от Гринвичского меридиана. Именно от этого меридиана отсчитывается долгота в системе GPS (англ. GPS longitude )

Центр системы координат WGS84 совпадает с центром масс Земли, ось Z системы координат направлена на опорный полюс (англ. IERS Reference Pole (IRP)) и совпадает с осью вращения эллипсоида, ось X проходит по линии пересечения нулевого меридиана и плоскости, проходящей через точку начала координат и перпендикулярную к оси Z , ось Y перпедикулярна оси X .

Альтернативой эллипсоиду WGS84 является эллипсоид ПЗ-90 , используемый в системе ГЛОНАСС , с длиной большой полуоси a = 6378136 м и сжатием f = 1:298,25784 .

Преобразования датумов

При простейшем варианте перехода между датумами Пулково-1942 и WGS84 необходимо учитывать только смещение центра эллипсоида Красовского по отношению к центру эллипсоида WGS84 :
рекомендовано в ГОСТ 51794-2001 —
dX = +00023,92 м; dY = –00141,27 м; dZ = –00080,91 м;
рекомендовано в World Geodetic System 1984 . NIMA, 2000 —
dX = +00028 м; dY = –00130 м; dZ = –00095 м.
Следует отметить, что выше приведены усредненные значения коэффициентов, которые для более точного преобразования должны вычисляться для каждой точки земной поверхности индивидуально. Например, для соседней с Беларусью Польшей эти параметры таковы:
dX = +00023 м; dY = –00124 м; dZ = –00082 м (по данным )
Такое преобразование называется трехпараметрическим .
При более точной трансформации (преобразовании Молоденского ) необходимо учитывать разницу между формами эллипсоидов, определяемую двумя параметрами:
da — разница между длинами больших полуосей, df — разница между коэффициентами сжатия (разница в уплощении). Их значения одинаковы для ГОСТ и NIMA :
da = – 00108 м; df = + 0,00480795 ⋅ 10 -4 м.

При переходе между датумами ED 50 и WGS84 параметры преобразования таковы:
da = – 00251 м; df = — 0,14192702 ⋅ 10 -4 м;
для Европы dX = -87 м; dY = –96 м; dZ = –120 м (по данным User’s Handbook on Datum Transformations involving WGS-84, 3-е издание, 2003 ).

Набор из указанных пяти параметров (dX , dY , dZ , da , df ) может вводиться в навигатор или навигационную программу в качестве характеристики используемого пользователем датума.

Проекции

Способ изображения трехмерной земной поверхности на двумерной карте определяется выбранной картографической проекцией .
Наиболее популярны (нормальная ) цилиндрическая проекция Меркатора и такая ее разновидность как поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора (Transverse Mercator ).

В отличие от известной в течение веков нормальной проекции Меркатора, которая особенно хороша для изображения экваториальных областей, поперечная проекция отличается тем, что цилиндр, на который проецируется поверхность планеты, повернут на 90°:

Цилиндрическая проекция Меркатора

Сферическая проекция Меркатора

Для сферической проекции действуют следующие формулы перевода широты $\phi$ и долготы $\lambda$ точки на поверхности земной сферы (в радианах) в прямоугольные координаты $x$ и $y$ на карте (в метрах):
$x = (\lambda — {\lambda}_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln { (\tan{ ({\phi \over 2} + {\pi \over 4} }) }) \cdot R$
(logarithmic tangent formula ) ,
где $R$ — радиус сферы, ${\lambda}_0$ — долгота нулевого меридиана.
Масштабный коэффициент $k$ представляет собой отношения расстояния по сетке карты (англ. grid distance ) к локальному (геодезическому) расстоянию (англ. geodetic distance ):
$k = {1 \over {\cos \phi}}$.
Обратный перевод реализуется с помощью таких формул:
$\lambda = {x \over R} + {\lambda}_0 $ ;
$ \phi = {\pi \over 2} — 2 \arctan(e^{-y \over R}) $ .
Важной для мореплавания особенностью проекции Меркатора является то, что линия румба (англ. rhumb lines ) или локсодрома (англ. loxodrome ) на ней изображается прямой линией.
Локсодрома — это дуга, пересекающая меридианы под одним и тем же углом, т.е. путь с постоянным (локсодромическим ) путевым углом.
Путевой угол , ПУ (англ. heading ) - это угол между северным направлением меридиана в месте измерения и направлением линии пути, отсчитывается по часовой стрелке от направления на географический север (0° применяется для указания направления движения на север, 90° — на восток).
Локсодромы являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам.

Следует отметить, что локсодрома не является кратчайшим путем между двумя точками — ортодромой, дугой большого круга , соединяющей эти точки.

Web Mercator

Вариант меркаторовской сферической проекции используется многими картографическими сервисами, например, OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.

В OpenStreetMap карта мира представляет собой квадрат с координатами точек по осям x и y , лежащими между -20 037 508,34 и 20 037 508,34 м. Как следствие, на такой карте не показаны области, лежащие севернее 85,051129° северной широты и южнее 85,051129° южной широты. Это значение широты $\phi_{max}$ является решением уравнения:
$\phi_{max} = 2\arctan(e^\pi) — {\pi\over 2} $ .
Как и любой карте, составленной в проекции Меркатора, ей свойственны искажения площадей, наиболее ярко проявляющиеся при сравнении изображенных на карте Гренландии и Австралии:

При прорисовке карты в OpenStreetMap координаты (широта и долгота) на эллипсоиде в системе WGS84 проецируются на плоскость карты так, как будто эти координаты определены на сфере радиусом R = a = 6 378 137 м (перепроецирование) — сферическое представление эллипсоидальных координат («spherical development of ellipsoidal coordinates «). Этой проекции, получившей название Web Mercator ) соответствует EPSG (European Petroleum Survey Group ) код 3857 («WGS 84 / Pseudo-Mercator «).
Перепроецирование из EPSG:4326 в EPSG:3857 ($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) реализуется по вышеприведенным формулам для обычной сферической проекции Меркатора.
На такой карте направление на север всегда соответствуют направлению на верхнюю сторону карты, меридианы представляют собой равноотстоящие друг от друга вертикальные линии.
Но такая проекция в отличие от сферической или эллиптической проекции Меркатора не является равноугольной (конформной ), линии румба в ней не являются прямыми. Линия румба (локсодром ) — это линия пересекающая меридианы под постоянным углом.
Преимуществом рассматриваемой проекции является простота вычислений.

В указанной проекции карта может быть расчерчена прямоугольной сеткой координат (по значениям долготы и широты).
Привязку карты (сопоставление прямоугольных координат на карте и географических координат на местности) можно осуществить по $N$ точкам с известными координатами. Для этого необходимо решить систему из $2 N$ уравнений вида
$X = \rho_{\lambda} \lambda — X_0$ , $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_{\phi} — Y_0 $ .
Для решения системы уравнений и определения значений параметров $X_0$ , $Y_0$ , $\rho_{\lambda}$ , $\rho_{\phi}$ можно использовать, например, математический пакет Mathcad .
Для проверки правильности привязки карты можно определить отношение длин сторон прямоугольника построенной сетки. Если горизонтальная и вертикальная стороны прямоугольника соответствуют одинаковой угловой длине по долготе и широте, то отношение длины горизонтальной стороны (дуги параллели — малого круга) к длине вертикальной стороны (дуги меридиана — большого круга) должно быть равно $\cos \phi$ , где $\phi$ — географическая широта места.

Эллиптическая проекция Меркатора

Эллиптическая проекция Меркатора (EPSG:3395 — WGS 84/World Mercator ) используется, например, сервисами Яндекс.Карты , Космоснимки.
Для эллиптической проекции действуют следующие формулы перевода широты $\phi$ и долготы $\lambda$ точки на поверхности земной сферы (в радианах) в прямоугольные координаты $x$ и $y$ на карте (в метрах):
$x = (\lambda — {\lambda}_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ({\pi \over 4} + {\phi \over 2}) ({{1 — e \sin {\phi}} \over {1 + e \sin {\phi}}})^{e \over 2}) $ ,
где $a$ — длина большой полуоси эллипсоида, $e$ — эксцентриситет эллипсоида, ${\lambda}_0$ — долгота нулевого меридиана.
Масштабный коэффициент $k$ определяется выражением:
$k = {{\sqrt {(1 — {e^2} {{(\sin \phi)}^2})}} \over {\cos \phi}} $ .
Обратный перевод реализуется с помощью таких формул:
$\lambda = {x \over a} + {\lambda}_0 $ ;
$ \phi = {\pi \over 2} — 2 \arctan(e^{-y \over a} ({{1 — e \sin {\phi}} \over {1 + e \sin {\phi}}})^{e \over 2}) $ .
Широта вычисляется по итерационной формуле, в качестве первого приближения следует использовать значение широты, вычисленной по формуле для сферической проекции Меркатора.

Поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора

Чаще всего используются две разновидности поперечно-цилиндрической проекции Меркатора — проекция Гаусса-Крюгера (англ. Gauss — Krüger ) (получила распространение на территории бывшего СССР) и универсальная поперечная проекция Меркатора (англ. Universal Transverse Mercator (UTM )).
Для обеих проекций цилиндр, на который происходит проекция, охватывает земной эллипсоид по меридиану, называемому центральным (осевым) меридианом (англ. central meridian, longitude origin) зоны. Зона (англ. zone ) - это участок земной поверхности, ограниченный двумя меридианами с разностью долготы в 6°. Всего существует 60 зон. Зоны полностью покрывают поверхность Земли между широтами 80°S и 84°N.
Отличие двух проекций заключается в том, что проекция Гаусса-Крюгера — это проекция на касательный цилиндр, а универсальная поперечная проекция Меркатора — это проекция на секущий цилиндр (для избежания искажений на крайних меридианах):

Проекция Гаусса-Крюгера

Проекция Гаусса-Крюгера была разработана немецкими учёными Карлом Гауссом и Луи Крюгером.
В этой проекции зоны нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 0°. Например, зона 1 простирается с меридиана 0° до меридиана 6°, ее центральный меридиан 3°.
В советской системе разграфки и номенклатуры топографических карт зоны называются колоннами и нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 180°.
Например, Гомель и окрестности относятся к зоне 6 (колонне 36 ) с центральным меридианом 33°.
Зоны/колонны делятся параллелями на ряды (через 4°), которые обозначаются заглавными латинскими буквами от А до V , начиная от экватора к полюсам.
Например, Гомель и окрестности относятся к ряду N . Таким образом, полное название листа карты масштаба 1:1 000 000 (10 км в 1 см), изображающей Гомель, выглядит как N-36 . Этот лист делится на листы карт более крупного масштаба:

Для Беларуси и соседних стран разграфка такова:

Для определения по топографической карте положения точки на карту наносят сетку прямоугольных координат X и Y , выраженных в километрах. Она образована системой линий, параллельных изображению осевого меридиана зоны (вертикальные линии сетки, оси X ) и перпендикулярных к нему (горизонтальные линии сетки, оси Y ).
На карте масштаба 1:200 000 расстояние между линиями сетки составляет 4 км; на карте масштаба 1:100 000 - 2 км.
Координата X подписывается на вертикальных краях листа карты и выражает расстояние до экватора, а координата Y подписывается на горизонтальных краях листа карты и состоит из номера зоны (первые одна или две цифры значения) и положения точки относительно центрального меридиана зоны (последние три цифры значения, причем центральному меридиану зоны присваивается значение 500 км).

фрагмент листа N36-123 советской топографической карты масштаба 1:100 000

Например, на вышеприведенном фрагменте карты надпись 6366 возле вертикальной линии сетки означает: 6 — 6-я зона, 366 — расстояние в километрах от осевого меридиана, условно перенесенного западнее на 500 км, а надпись 5804 возле горизонтальной линии сетки означает расстояние от экватора в километрах.

Универсальная поперечная проекция Меркатора

Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM ) была разработана инженерными войсками США (United States Army Corps of Engineers ) в 1940-х годах.

Для построения карт в проекции UTM ранее использовался эллипсоид International 1924 — сетка UTM (International) , а в настоящее время — эллипсоид WGS84 — сетка UTM (WGS84) .
В этой проекции зоны нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 180°.
Эта система используется вооруженными силами США и НАТО (англ. United States and NATO armed forces ):

Каждая зона разделена на горизонтальные полосы через каждые 8° широты. Эти полосы обозначены буквами, с юга на север, начиная от буквы C для широты 80° S и заканчивая буквой X для широты 84° N . Буквы I и O пропущены для избежания путаницы с цифрами 1 и 0. Полоса, помеченная буквой X , занимает 12° по широте.
Зона в этой проекции обозначается номером (англ. longitude zone ) и буквой (каналом широты, англ. latitude zone ):

На этом рисунке видны две нестандартные зоны долготы — зона 32V расширена для покрытия всей южной Норвегии, а зона 31V сокращена для покрытия только водного пространства.
Для Гомеля и окрестностей зона обозначается как 36U с центральным меридианом 33°:

Зона покрывается прямоугольной (километровой) сеткой (сеткой по универсальной поперечной проекции Меркатора, СУППМ):

Длина стороны квадрата сетки в вышеприведенном фрагменте карты составляет 10 км.

Точка начала системы координат для каждой зоны определяется пересечением экватора и центрального меридиана зоны.
Координата E (Easting ) на такой сетке представляет собой расстояние на карте от центрального меридиана в метрах (к востоку — положительное, к западу — отрицательное), к которому прибавлено + 500 000 метров (англ. False Easting
Координата N (Northing ) на такой сетке представляет собой расстояние на карте от экватора в метрах (к северу — положительное, к югу — отрицательное), причем в южном полушарии это расстояние вычитается из 10 000 000 метров (англ. False Northing ) для избежания появления отрицательных значений.
Например, для левого нижнего угла квадрата сетки на вышеприведенной карте координаты записываются как
36U (либо 36+ ) 380000 5810000 ,
где 36 — longitude zone , U — latitude zone , 380000 — easting , 5810000 — northing .

Преобразование широты и долготы в координаты UTM поясняется рисунком:

P — рассматриваемая точка
F — точка пересечения перпендикуляра, опущенного на центральный меридиан из точки P , с центральным меридианом (точка на центральном меридиане с тем же самым northing , что и рассматриваемая точка P ) . Широта точки F (англ. footprint latitude ) обозначается как $\phi ‘ $ .
O — экватор
OZ — центральный меридиан
LP — параллель точки P
ZP — меридиан точки P
OL = k 0 S — дуга меридиана от экватора
OF = N — northing
FP = E — easting
GN — направление на север сетки карты (англ. grid north )
C — угол схождения меридианов (англ. convergence of meridians ) — угол между направлением на истинный север (англ. true north ) и на север сетки карты

При преобразовании прямоугольных координат (X , Y ) для проекции Гаусса-Крюгера на эллипсоиде WGS84 в прямоугольные координаты (N , E ) для универсальной поперечной проекции Меркатора на том же эллипсоиде WGS84 необходимо учитывать масштабный коэффициент (англ. scale factor ) $k_0 = 0,9996 $ :
$ N = X \cdot k_0 $ ;
$ E = Y_0 + Y \cdot k_0 $ ,
где $ Y_0 = 500 000 $ метров.

Указанный масштабный коэффициент $k_0 = 0,9996 $ верен только для центрального меридиана зоны. При удалении от осевого меридиана масштабный коэффициент изменяется.

Примечание. Погрешность считывания координат с карты (georeferencing accuracy ) обычно принимается равной ±0,2 мм. Именно такую точность имеют устройства, применяемые при создании аналоговой карты.

Геоид

Следует отметить, что более точным приближением поверхности нашей планеты является геоид (англ. geoid ) — эквипотенциальная поверхность земного поля тяжести, т. е. поверхность геоида везде перпендикулярна линии отвеса. Но сила тяжести определяется векторной суммой гравитационной силы со стороны Земли и центробежной силы, связанной с вращением Земли, поэтому потенциал силы тяжести не совпадает с чисто гравитационным потенциалом .
Геоид совпадает со средним уровнем Мирового океана, относительно которого ведется отсчет высот над уровнем моря .
Геоид имеет сложную форму, отражающую распределение масс внутри Земли, и поэтому для решения геодезических задач геоид заменяется эллипсоидом вращения. Наиболее современной математической моделью геоида является EGM2008 , пришедшая на смену популярной модели EGM96 .

Продолжение следует.

Проекция Гаусса-Крюгера

Как следует из предыдущих параграфов, здесь имеется в виду, что проектирование поверхности Земли производится на цилиндрическую поверхность, ось которой совпадает с плоскостью экватора. В проекциях Меркатора и Ламберта ось вспомогательного цилиндра совпадает с осью вращения Земли. Кроме того, как следует из названия параграфа, проекция равноугольная, а это значит, что направления, находящиеся в горизонтальной плоскости, на изображении и на земной поверхности сохраняются, а также сохраняются соответственно и горизонтальные углы между направлениями. Но, как примерно сказал М.В.Ломоносов, если где-то сколько-то прибавится, то где-то столько же и убавится. В этой проекции сохраняются углы, но искажается всё остальное: масштабы длин и площадей, формы объектов. Единственным неискаженным изображением поверхности Земли может быть только глобус, т.е. объемное изображение. Но представьте себе, чтобы получить изображение Земли в масштабе хотя бы 1:1000000, надо будет изготовить глобус диаметром более 12,5 метров. В аудиторию не занесешь. Зато, правда, и не вынесешь. А если масштаб крупнее? Вот и приходится идти на уступки: одно изображать без искажений, а на другое при этом не обращать пристального внимания.

Поперечно-цилиндрическая проекция для изображения поверхности земного эллипсоида на плоскости была разработана немецким геодезистом Зольднером и французским геодезистом Кассини . Впоследствии К.Гаусс применил к этой проекции принцип равноугольности, причём масштабы изображения в новой проекции в каждой её точке в любом направлении были одинаковыми. Информация о новой проекции была опубликована К.Гауссом в 1825 году, а спустя почти 90 лет, в 1912 году, ученый Л.И.Крюгер (1857 – 1923) опубликовал рабочие формулы этой проекции. Сейчас указанная проекция названа именами Гаусса и Крюгера.

Предположим, что фигурой Земли является шар радиусом R. Построим вокруг Земли цилиндрическую поверхность, касающуюся поверхности шара по меридиану (рис. 2.14). Ось цилиндрической поверхности в этом случае должна совпасть с плоскостью экватора. В проекции Гаусса на цилиндр проектируется только часть поверхности шара (или эллипсоида), ограниченная по долготе меридианами по 3 о в стороны от меридиана, касательного к цилиндру, так называемая 6 о (шестиградусная) зона . Всего таких зон для всей Земли получается 60.

Рис.2.14. Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера.

Меридиан зоны, касательный к цилиндрической поверхности, называют центральным или осевым меридианом зоны . Счёт зон ведут на восток от Гринвичского меридиана и обозначают их арабскими цифрами (1, 2, ..., 60). Осевой меридиан 1-й зоны имеет восточную долготу 3 о. Долготу осевого меридиана любой зоны с номером n в восточном полушарии можно определить по формуле

, (2.7)

а в западном полушарии, для зон, номера которых больше 30, – по формуле

Но не во всех случаях может применяться 6 о -ная проекция зоны. Очевидно, что линией нулевых искажений в этой проекции является в каждой зоне её осевой меридиан. Для всех остальных точек земной поверхности (имеется в виду её геометрической шаровидной формы) существует «зазор» с вспомогательной цилиндрической поверхностью. А это значит, что искажения постепенно увеличиваются при перемещении от осевого меридиана на запад или восток и достигают максимального своего значения на краях зон. Как видно на рис. 2.14, точка А , находящаяся на крайнем (восточном) меридиане 1-й зоны на плоскости (на изображении) удалится от самой себя в другое место и окажется на крайнем (западном) меридиане 2-й зоны.

В маркшейдерии такие искажения 6 о -ных зон являются слишком большими, поэтому маркшейдеры используют для составления картографических материалов тоже проекцию Гаусса-Крюгера, но с применением 3 о -ных (трехградусних) зон. Искажения на изображениях, построенных в 3 о -ных зонах, в четыре раза меньше, чем искажения, получающиеся в 6 о -ных зонах. Осевой меридиан 1-ой 3 о -ной зоны совпадает с осевым меридианом 1-ой 6 о -ной зоны. Осевой меридиан 2-й 3 о -ной зоны совпадает с крайними меридианами 1-й и 2-й 6 о -ных зон и т.д. Всего получается 120 3 о -ных зон.

Основные свойства проекции Гаусса-Крюгера следующие:

Осевой меридиан зоны изображается без искажений и представляет собой на плоскости прямую линию. Все другие меридианы этой зоны изображаются сложными кривыми;

Экватор в проекции представляет собой прямую линию, перпендикулярную проекции осевого меридиана. Все другие параллели данной зоны являются сложными кривыми;

Направления на местности в проекции передаются практически без искажений;

Сохраняется масштаб изображения (частный масштаб) малых участков поверхности Земли.

Обратите внимание на следующее. Выше мы говорили о том, что на цилиндрическую поверхность выполняют проектирование с поверхности шара. Но это не совсем так. Вернее, совсем даже не так. Геометрическая вспомогательная поверхность Земли, поверхность относимости, представляет, как Вы уже знаете, не поверхность шара, а поверхность референц-эллипсоида. Поэтому и вспомогательная цилиндрическая поверхность, на которую производится проектирование земной поверхности, должна соответствовать этому, т.е. сопрягаться с меридианом, представляющим собой не окружность, а эллипс. Таким образом, для проектирования обязательно должен использоваться эллиптический цилиндр.

§ 11. Разграфка и номенклатура топографических карт и планов

Понятие номенклатуры в картогафии абсолютно отличается от её других значений в нашей повседневной негеодезической жизни (лат. – nomenklatura ). Это и совокупность или перечень названий, терминов, употребляющихся в какой-либо отрасли науки, техники, искусства и т.п., это и круг должностных лиц, назначенных вышестоящей инстанцией. Смысловое понятие номенклатуры в геодезии исходит из того, что принимаемые положения должны обеспечивать однозначное обозначение листов топографических либо каких других карт различных масштабов. Нельзя сказать, что принятая картографами в работе номенклатура является удобной. Не будет удобной и другая какая-нибудь система обозначений, поскольку так много последовательных делений от первичного листа карты, что остается только надеяться на свою память либо пользоваться справочником, что во многом в этих случаях надежнее.

Рис. 2.15. Разграфка и номенклатура топографических карт масштаба 1:1000000.

Номенклатура – это система обозначения листов карт разных масштабов.

Система деления карт на отдельные листы с помощью линий картографической сетки (линий меридианов и параллелей) или прямоугольной координатной сетки (координатных линий) называется разграфкой .

В основу деления карт на листы в нашей стране принята международная разграфка карт масштаба 1:1000000 (рис. 2.15). Разбивка на ряды параллелями производится от экватора через каждые 4 о широты. Ряды обозначают буквами латинского алфавита: A, В, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, V, W. Колонны в своих границах совпадают с 6 о зонами проекции Гаусса-Крюгера, но нумерация их ведется от меридиана ±180 о на восток. Таким образом, номер колонны отличается от номера зоны на 30 единиц в ту или другую стороны. Колонны обозначаются (по номерам) арабскими цифрами.

Предположим, что номер колонны 47. Тогда номер соответствующей зоны будет 47 – 30 = 17. Если номер колонны меньше 30, то для определения номера зоны следует к номеру колонны прибавить 30.

Номенклатура первого листа топографической карты масштаба 1: 1000000 составляется из буквы ряда и номера колонны. Например, Н – 47.

Других листов карты масштаба 1:1000000 с таким обозначением нет. Но Вы можете задать вполне разумный вопрос: «Для обозначения рядов картографы использовали все буквы латинского алфавита для северного полушария. А как же быть тогда с листами карт на южное полушарие? Придется повториться?» Зачем повторяться. Номенклатура – это система обозначений. Так и давайте чуть-чуть изменим эту систему для южного полушария. Например, в южном полушарии подобный лист обозначить как 47 – Н. И никаких проблем и вопросов. А можно придумать и другое, например, брать в скобки (Н) для южного полушария. И снова – никаких проблем. И снова с Вашей стороны разумный вопрос: «Ну а как же на самом деле обозначают?» Проще, чем мы с Вами подумали: после номенклатуры в скобках указывают (Ю.П.). Наши с Вами способы все-таки поинтереснее.

Разграфку более крупных масштабов из листа 1:1000000 можно проследить по приведённой ниже схеме, табл. 2.2 и рисункам 2.16 – 2.21, относящимся к приведённому ниже примеру.

1. Понятие о форме и размерах земли . Ге о графические коорд и наты

При решении ряда геодезических задач требуется знать форму и размеры Земли, которая не является правильным геометрическим телом. Ее физическая поверхность (и в особенности поверхность суши) очень сложная, ее невозможно выразить какой-либо математической формулой. Поэтому в геодезии введено понятие уровенной поверхности.

Урове н ной называют выпуклую поверхность, касательная к которой в любой точке перпендикулярна направлению отвесной линии. Следовательно, уровенную поверхность мысленно можно провести через любую точку на физической поверхности земли, под землей и над землей. Реально уровенную поверхность можно представить как водную поверхность пруда, озера, моря, океана в спокойном состоянии. Поверхность Мирового океана, мысленно продолженная под сушей, названа поверхн о стью геоида, а тело, ограниченное ею, - геоидом. Но и поверхность геоида из-за неравномерного размещения масс в теле Земли также очень сложная и не выражается какой-либо математической поверхностью, например поверхностью шара. Исследования формы Земли астрономо-геодезическими методами показали, что Земля сплюснута у полюсов (вследствие вращения Земли вокруг своей оси). Поэтому в качестве математической поверхности, характеризующей форму Земли, принимают поверхность такого эллипсоида вращения, т.е. тела, получающегося от вращения эллипса вокруг его малой (полярной) оси, который по форме в наибольшей мереблизко подходит к поверхности геоида. Размерами эллипсоида являются длины его большой а и малой b полуосей, а также сжатие, которое определяют по формуле: а = (а - b )/а.

На протяжении двух последних столетий ученые неоднократно определяли размеры земного эллипсоида.

При приближенных расчетах поверхность эллипсоида принимают за поверхность шара (равновеликого по объему земному эллипсоиду) с радиусом 6371,1 км, округляя это значение до 6370 км, а в некоторых случаях до 6400 км. Для небольших участков земной поверхности поверхность эллипсоида принимают за плоскость.

Положения точек земной поверхности на карте и плане определяют координатами. Наиболее часто пользуются географическими и прямоугольными координатами.

Геогр а фическими к о ординатами (рис. 1.17, а) являются широта и долгота точки. Ге о графическая (астрономическая) широта ф точки М - угол между направлением отвесной линии, проходящей через эту точку, и плоскостью экватора. Геогр а фическая (астрономическая) до л гота А, - двугранный угол, заключенный между плоскостью меридиана, проходящего через эту точку, и плоскостью начального меридиана.

Угол, составленный нормалью к поверхности эллипсоида и плоскостью экватора, называют геод е зической ш и ротой, а двугранный угол, заключенный между плоскостями геодезического и начального меридианов, - геодезич е ской долг о той.

Широты бывают северные и южные, изменяются от 0 (на экваторе) до 90° (на земных полюсах). Долготы бывают восточные и западные, изменяются от 0 (на начальном - Гринвичском меридиане) до 180° (на тихоокеанской ветви Гринвичского меридиана). Линию, проходящую через точки с одинаковыми широта ми, называют п а раллелью, а с одинаковыми долготами - меридианом.

2 . По нятие о картографич е ских проекциях. Классиф и кация проекций. Равн о угольная поперечная ц и линдрическая проекция Г а усса

3. Прямоугол ь ные координаты Гаусса. Процесс преобразова ния

Применяя проекцию Гаусса, всю земную поверхность делят меридианами на 6 и 3 зоны. Это вызвано тем, что при большом удалении точки осевого меридиана получают большие искажения в этой точке на карте. Выбор зоны зависит от масштаба. Для крупных 3-х зоны (1:500,1:1000,1:2000,1:5000), для мелких 6-и зоны (1:50000, 1:100000). Спроектировав зону на поверхность цилиндра, а затем развернув его на плоскость получают изобр. зоны на плоскости. В проекции Гаусса в кажд. из зон примен. прямоугольная система координат. За ось абцис (х) принимают осевой меридиан, за ось ординат(у) - экватор. Для преобразования плоских прямо-х координат принято +500 км к исходн. координатам и добавлять номер зоны впереди.

4 . Ма сштаб изображения и искажения длин линий пр о екции Гаусса

Пр. Гаусса является равноугольной, т.к. в ней не икаж. горизонт. углы геометр. фигур земной поверхн. Длина линий измер. на плане или вычисл. по координатам точек всегда больше горизонт. проложений этих линий на местности, т.е.

S г =S+?S, ?S=(1+у 2 /2R 2),

где?S-поправка за редуцирование-вычисление длины линии на местности в проекции. ?S всегда +, при вычислении ее поправки ординату(у) берут для середины редуцируемого отрезка. Поправки за редуцирование линий вводятся в измеренные линии, когда значение измеренных линий велико и в качестве исходных используются точки гос. геод. сети. Под масштабом плана понимают отношение длины линии на плане к горизонт. проложению длин этих линий на местности m=S г /S. Масштаб во всех частях плана постоянен, но при изобр. больших террит. кривизна земли сказывается. Масштаб карты явл. велич. переменной. Он изм. при переходе из одной точки в другую>зависит от геогр. координат и азимута (m=f (B, L, ?)), где m-масштаб. На картах бывают масштабы: 1. Главный устанавливает общее изменение всех элементов земной поверхн. при переходе от поверхн. земн. эллипсоида или шара к карте. Во всех остальных частях карты масштабы > или < главного назыв. частные. Масштаб изобр. в пределах одн. и той же зоны различен и зависит от удаленности отрезка от осевого меридиана. Наибольшее искаж. получ. длины отрезков находящихся на краю 6 зоны, на широте экватора.

5. Искажение площадей в проекции Гаусса

В проекции Г. сохран. подобие бесконечно малых фигур. Из геометр. известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их сходственных сторон

Р г /Р=S 2 г /S 2 , S г =S (1+y 2 /2R 2), P г /Р=S 2 (1+y 2 /2R 2)/S 2 , P г =Р (1+у 2/ /R 2 +y 4 /4R 4).

Из-за малости у 4 /4R 4 отбрасывают.

Р г =Р (1+у 2 /2R 2), P г =Р+?Р, ?Р=Ру 2 /R 2 .

Р - поправка в площади в поверхности шара на плоскость поверхности Гаусса. Для упрощения выводов земная поверхн. приним. за поверхн. шара

6. Номенклатура листов т о пограф. карт мелких, ср., кр. масштабов

Для удобства пользования топограф. картами их обознач. введя опр. систему. В основу деления положены сферические трапеции получаемые на поверхн. сфероида при делении его меридианами через 6 на 60 зон. Зоны № арабским цифрами с запада на восток, начиная от меридиана долготой 180°. Колоны делятся на ряды через 4°, ряды обознач. заглавн. букв. латинского алфавита, от экватора до севера, от А до З. Проведенные таким образом меридианы служат рамками листов карт масштабом 1:1000000 размерами по широте 4 и 6. В основу номенклатуры карт крупных масштабов положена трапеция масштаба 1:1000000, средних - 1:100000.

7. Вычисл. координ. ве р шин тр апеции м. 1:10000 в пр. Гаусса

Сначала по специальным таблицам находят координаты и сближение меридианов углов рамки трапеции 1:25000, в которую входит трапеция м. 1:10000. Выбор данных производится по широте В и отклонению угла рамки от осевого меридиана l=L-L 0 . Найденные значения выписываются на схему. Затем вычисляют прям. координ. и сближ. меридианов для углов рамки трап. м. 1:10000 линейным интерполированием м/у соответствующими значениями для улов рамки трап. м. 1:25000. Результаты выпис. на схему. В абциссы углов, полученных при интерполировании, вводят поправку, которую берут из таблицы. Поправка вводится с -, т.к. параллели в пр. Г. изобр. дугами. Попр. водят в точки, расп. на среднем меридиане трап. м. 1:25000. Найденные знач. для трап. м. 1:10000, предварительно + к ординатам 500 км и указав впереди № зоны.

9. Определ. дирекционного угла и длины л и нии между двумя точками на топ о граф. карте графич. и гр а фоаналитич. методом

Для определ. дир. угла по графич. координатам вычисл. румб линии, к пр. АВ, по ф.

r AB =arctg?y AB /?x AB .

Затем по румбу находят дир. угол? АВ. Для этого выч. гориз. пролож. S AB по ф.

S АВ =?x AB /cosr AB , S AB =?y AB /sinr AB , S AB =v?x AB 2 +?y AB 2 .

Для опр. дир. угла. по графич. методу нужно изм. дир. угол с помощью геодезич. транспортира. Горизонт. пролож. измерть с помощью циркуля и масшт. линейки. Расхождения между полученными значениями 2 способами на должны превышать в дир. угле 20", в гор. прол. - 4 м.

10. Сущность и виды геод. изм.

Изм. к-л величин. значит сравнить ее с другой однородной ей велич., принятой за 1-цу меры. В результате изм. находится число = отношению измеряемой величины к 1 меры, его назыв. результатом изм. Изм.: прямые - когда определяемую величину получают из непосредственного сравнения с эталоном; косвенные - знач. величины получают вычислением по другим уже изм. велич. Всякое изм. предусматривает наличие 5 факторов: объекта изм., человека, инструмента изм., метода изм., внешней среды. Изм проводимые в одинаковых условиях при котор. результ. можно считать одинаково достоверными - равноточные, изм. проводимые в неодинаковых условиях котор. отдельные изм. оказываются недостоверными назыв. неравноточными.

11. Классиф. ошибок изм. Св-ва случ. ошибок изм.

Отклонение результата изм. от его точного изм. назыв. ошибкой изм. ?=l-x, ?-ошибка, l-результат изм., х-точное знач. Классиф.: По характеру действия: грубые - величина которых совершенно недопустима при данных условиях изм.; систематические - при повторных изм. либо остаются без измен., либо измен. по к-л определенному закону, могут быть: постоянно, переменно, односторонне действующие; случайные - ошибки в последовательности появления которых нет никакой закономерности. По источнику происхождения: инструментальные, внешние, личные. Св-ва случ. ошибок: Ошибки по абсолютной величине не превосходят некоторого предела. Число + и - ошибок равных по абсолютной величине встречается одинаково часто. 3Чем меньше по абсолют. велич. ошибка тем она чаще встреч. и наобор. 4Чем больше число ошибок, те больш. среднеарифметическое из них стремится к 0.

12. Сред., вероят., СКО и предельн. ошибки изм., связь м/у ними. Виды распр ошибок, Абсолют. и отн о сит. ошибки изм.

Средняя ош. получена как среднеарифм. знач. из истинных ош. Ее получ. по абсолютным знач. ош.

Среднеарифм., n-число изм. Вероятная ош.-такое знач. случ. ош. при данных условиях по отношению к которой ош. <и>по абсолют. велич. встречаются одинаково часто r=2/3m. СКО как мера точности изм. усиливает возвед. в квадр. знач. больших по абсолютной величине ош., что проектир. правильность суждения о надежности m=v[? 2 ]/n. При неогр. числе изм. знач. СКО будет приближенным > вычисл. СКО самой ош. и назыв. ее надежностью изм. m ml =m l /v2n. Зная СКО установить предельную ош., абсолют. знач. которой счит. верхней границей допустимых при данных условиях изм. размеров ош. ? пр =ґ m , где ґ=2; 2,5; 3. Преимущество СКО: Учитывают влияние больших по величине ошибок. СКО определенная из небольшого числа изм. мало отлич от СКО большого числа таких же изм. Истинная, средняя, вероятная, СКО ош. назыв. абсолютными в тех случаях когда на точность изм. влияет размер определяемой величины, то оценка точности по абсолют. ош. становится недостаточной. Во всех таких случаях для точности применяют понятие относит. ош. - отвлеченное число выраж. отнош. абсолют. ош. измерения к его результату.

13. Матем. обраб. равн о точн. изм. Арифм. сре д нее, СКО арифмет. середи ны

Имеется ряд равноточ. изм. l 1 , l 2 …, l n . За окончательное знач. изм. величины приним. среднее знач или L=(l 1 +l 2 + … +l n)/n=[l]/n. Ряд случ. ош.

1 =l 1 -x, ? 2 =l 2 -x,….,? n =l n -x,

где х-точное знач. изм. величины. Сложим все и получ. [?]=[l] - nx. x=[l]/n - [?]/n. При бесконечном числе изм. среднее арифм. знач. их находится ближе всего к точному их значению х, чем любой из результатов измерений (l 1 , l 2 …l n) поэтому его назыв. вероятнейшим знач. измеренной величины.

L=[l]/n, L=l 0 +[E]/n,

l 0 -наименьшее из всех результатов изм., Е-разница м/у каждым наименьшим и результатом изм. Е=l 1 -l 0 . Если возмем - м/у средним арифм. и каждым результатом изм. то получим v 1 =l 1 -L, v 2 =l 2 -L,…., v n =l n -L. Сложим все и получ.

[v]=[l] - [l]/n*n.

Величину v назыв. уклонением от вероятнейшего знач. или вероятнейшими ош. СКО арифм. середины, если х-точное значение определ. велич., L-арифметич. середина, М-ош. вероятн. знач. М=L-x.

8. Способы получ. размеров по меридиану и пара л лели литсов топограф. карт ме л ких и ср. м. в мере

Разграфка листов крупномасштабн. планов произв. сл. способом: для съемки и составл. планов свыше 20 км2 за основу разграфки принимают лист карты 1:1000000, а в случае прямоугольной разграфки 1:5000.

1:1000000-4-6°, 1:500000-2-3°, 1:300000-1°20-2°, 1:200000-40"-1° 1:100000-20"-30", 1:50000-10"-15", 1:25000-5"-7"30», 1:10000-2"30»-3"45».

16. Оценка точности рез. равноточ. изм. по 2 - х изм. Ф., порядок вы числ.

На пактике часто произв. 2-ые равноточные изм. Изм. некот. однородн. велич. и получ. результатыl 1 " , l 2 " …l n " и l » 1 , l 2 » …l n » , d=l i " -l i » . При абсолютно точных знач. - этих велич. должны быть =0. Но этого не происх. т. к. влияют ош. можно их вычисл. по ф. Г. m d =+-v/n. Ош 1-го изм. m l =v[d] 2 /2n, вероятнейшего измерения. m l =0.5v/n, предельное изм. ? пр =3m. Эти ф. справедливы когда отсутств. систем. ош. Если есть систем. ош. то ее нужно опред. и искл. Если бы не было случ. ош. тогда знач. систематич. ош. можно получить применяя ф. арифм. середнего. Q=d, Q=[d]/n. Искл. знач. ош. из - получим остаточные разности i =d i -Q.

17. СКО арифметической середины . Вывод ф.

M=L-x. Для вывода этой формулы примем? 1 =l 1 -x, ? 2 =l 2 -x,…,? n =l n -x. Сложим и разделим все и получим [?]/n=[l]/n-xn/n. Возведем это равенство в квадрат

М 2 =(? 1 2 +? 2 2 + … +? n 2 +2? 1 ? 2 +2? 1 ? 3 + … +2? 1 ? n +2? 2 ? 3 +2? 2 ? 4 + … +2? 2 ? n + … +2? n -1 ? n)/n 2 .

Т.к. в этой ф. на основании св-ва случ. ош. удвоенные произв. могут иметь разные знаки и при возрастании числа сумма их будет >0, поэтому отбросив их получим приближен. равенство.

M 2 =(? 1 2 +? 2 2 + … +? n 2)/n 2 =[? 2 ]/n 2 .

М=m l /vn, M L =m l /vn-СКО вероятнейшего знач. Следовательно СКО арифм. серед. равноточ. изм. одной и той же велич. vn меньше СКО отдельного изм. > вероятн. знач. будет в наибольшей мереточным по сравнению с каждым результатом изм.

18. СКО ф-и общего вида: U = f (X 1 , X 2 ,… , X n ). Вывод ф.

U=f(X 1 , X 2 ,…, X n),

где X 1 , X 2 , X n непосредственно изм. велич. содерж. ош. ?х 1 , ?х 2 , ?х n . Если меняются знач. аргументов ф-и на велич. ош., то меняется и сама ф-я

U+?U=f(x 1 +?х 1 , х 2 +?х 2 , х n +?х n).

19. СКО ф-и вида U = K X (K - const ).Вывод ф.

U=KX, где K-const, х - непоср. изм. велич. Если х изм. ошибочно, то и ф-ия будет иметь ош. U+?U=K (x+?x), где?U-случ. ош. Произведем вычисл. и получ. ?U=K?x

m U =m x v?K i 2 .

20. СКО ф-й вида U = X + Y . Вывод ф.

U=X+Y(1), где х, у - независим. велич., получ. в результате неоднократных изм. величин. Если изм. велич. были определены со случ. ош., то и сумма их будет содерж. ош.

U+?U=(x+?x)+(y+?y) (2).

Вычтем из (2) (1) ?U=?x+?y. При многократных непостедств. изм. каждой велич. получ. многочлен

U 1 =?x 1 +?y 1 ,?U 2 =?x 2 +?y 2 ,….,?U n =?x n +?y n .

Возведем в квадрат и сложим почленно [?U 2 ]=[?x 2 ]+[?y 2 ]+2 [?x?y]. Отбросим последнее знач. т.к. оно обладает всеми св-ми случ. ош. и при увелич. числа изм. стремится к 0.

[?U 2 ]=/n+/n, m 2 U =m x 2 +m y 2 .

СКО суммы двух изм. велич. равна сумме квадратов отдельных аргументов.

m=m x =m y , m U = +-mv2, m U =vm x 2 +m y 2 .