Произведение циклических групп. Порождающие элементы циклической группы

Пусть M – некоторое подмножество группы G. Множество всевозможных произведений элементов из M и обратных к ним является подгруппой. Она называется подгруппой, порожденной подмножеством M, и обозначается через hMi. В частности, M порождает группу G, если G = hMi. Полезно следующее простое утверждение:

подгруппа H порождена подмножеством M тогда и

Если G = hMi и |M| < ∞, то G называется конечно порожденной .

Подгруппа, порожденная одним элементом a G, называется циклической и обозначается через hai. Если G = hai для некоторого a G, то G также называется циклической. Примеры циклических групп:

1) группа Z целых чисел относительно сложения;

2) группа Z(n) вычетов по модулю n относительно сложения;

ее элементами являются множества всех целых чисел, дающих один и тот же остаток при делении на данное число n Z.

Оказывается, этими примерами исчерпываются все циклические группы:

Теорема 2.1 1) Если G – бесконечная циклическая группа, то

G Z.

2) Если G – конечная циклическая группа порядка n , то

G Z(n).

Порядком элемента a G называется наименьшее натуральное число n, такое что an = 1; если такого числа не существует, то порядок элемента считается равным бесконеччности. Порядок элемента a обозначается через |a|. Отметим, что |hai| = |a|.

2 .1 . Вычислите порядки элементов групп S3 , D4 .

2 .2 . Пусть |G| < ∞, g G. Докажите, что |g| делит |G|.

2 .3 . Пусть g G, |g| = n. Докажите, что gm = e тогда и только тогда, когда n делит m.

2 .4 . Пусть |G| = n. Докажите, что an = e для всех a G.

2 .5 . Докажите, что группа четного порядка содержит элемент порядка 2.

2 .6 . Пусть группа G имеет нечетный порядок. Докажите, что для всякого a G найдется b G такой, что a = b2 .

2 .7 . Проверьте, что |x| = |yxy−1 |, |ab| = |ba|, |abc| = |bca| = |cab|.

2 .8 . Пусть a G, |a| = n и b = ak . Докажите, что |b| = n/НОД(n, k);

2 .9 . Пусть ab = ba. Докажите, что НОК(|a|, |b|) делится на |ab|. Приведите пример, когда НОК(|a|, |b|) 6= |ab|.

2 .10 . Пусть ab = ba, НОД(|a|, |b|) = 1. Докажите, что |ab| = |a||b|.

2 .11 . Пусть σ Sn – цикл. Проверьте, что |σ| равен длине σ.

2 .12 . Пусть σ Sn , σ = σ1 . . . σm , где σ1 , . . . , σm – независимые циклы. Проверьте, что |σ| = НОК(|σ1 |, . . . , |σm |).

2 .13 . Цикличны ли группы: а) Sn ;

б) Dn ;

в) µn := {z C | zn = 1}?

2 .14 . Докажите, что если |G| = p – простое число, то G – циклическая.

2 .15 . Докажите, что в неединичной группе G нет собственных подгрупп тогда и только тогда, когда |G| = p, т. е. G изоморфна Z(p) (p – простое число).

2 .16 . Докажите, что если |G| ≤ 5, то G абелева. Опишите группы порядка 4.

2 .17 . Пусть G – циклическая группа порядка n с образующим элементом a. Пусть b = ak . Докажите, что G = hbi тогда и только тогда, когда НОД(n, k) = 1, т.е. число образующих элементов в циклической группе порядка n равно ϕ(n), где ϕ – функция Эйлера :

2 .18 .* Докажите, что

2 .19 . Пусть G – циклическая группа порядка n, m|n. Докажите, что в G существует, причем ровно одна, подгруппа порядка m.

2 .20 . Найдите все образующие групп: а) Z, б) Z(18).

2 .21 . Докажите, что бесконечная группа имеет бесконечное число подгрупп.

2 .22 .* Пусть |G| < ∞. Докажите, что G циклична тогда и только тогда, когда |Gd | ≤ d для всех d N, где Gd = {x G | xd = e}.

2 .23 .* Пусть F – поле, G – конечная подгруппа в F . Докажите, что G циклична.

Р А З Д Е Л 3

Гомоморфизмы. Нормальные подгруппы. Факторгруппы

Отображение групп f: G −→ H называется гомоморфизмом , если f(ab) = f(a)f(b) для любых a, b G (так что изоморфизм

– частный случай гомоморфизма). Часто используются и другие разновидности гомоморфизма:

мономорфизм – инъективный гомоморфизм, эпиморфизм – сюръективный гомоморфизм, эндоморфизм – гомоморфизм в себя, автоморфизм – изоморфизм на себя.

Подмножества

Kerf = {a G | f(a) = 1} G

Imf = {b H | f(a) = b для некоторого a G} H

называются соответственно ядром и образом гомоморфизма f. Очевидно, Kerf и Imf являются подгруппами.

Подгруппа N < G называется нормальной (это обозначается N C G), если a−1 Na = N для всех a G; это эквивалентно тому, что Na = aN. Группа называется простой , если она не содержит собственных нормальных подгрупп.

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Верно и обратное: каждая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма. Чтобы показать это, введем на множестве

16 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

G/N = {aN | a G} смежных классов по нормальной подгруппе N операцию: aN · bN = abN. Тогда G/N превращается в группу, которая называется факторгруппой по подгруппе N. Отображение f: G −→ G/N является эпиморфизмом, причем Kerf = N.

Каждый гомоморфизм f: G −→ H является композицией эпиморфизма G −→ G/Kerf, изоморфизма G/Kerf −→ Imf и мономорфизма Imf −→ H.

3 .1 . Докажите, что данные отображения являются гомоморфиз-

мами групп, и найдите их ядро и образ. а) f: R → R , f(x) = ex ;

б) f: R → C , f(x) = e2πix ;

в) f: F → F (где F – поле), f(x) = ax, a F ; г) f: R → R , f(x) = sgnx;

д) f: R → R , f(x) = |x|; е) f: C → R , f(x) = |x|;

ж) f: GL(n, F) → F (где F – поле), f(A) = det A;

з) f: GL(2, F) → G, где G – группа дробно-линейных функций (см. задачу 1 .8 ), F – поле,

и) f: Sn → {1, −1}, f(σ) = sgnσ.

3 .2 . При каком условии на группу G отображение f: G → G, заданное формулой

а) g 7→g2 б) g 7→g−1 ,

является гомоморфизмом?

3 .3 . Пусть f: G → H – гомоморфизм, a G. Докажите, что |f(a)| делит |a|.

3 .4 . Докажите, что гомоморфный образ циклической группы цикличен.

3 .5 . Докажите, что образ и прообраз подгруппы при гомоморфизме являются подгруппами.

3 .6 . Назовем группы G1 и G2 антиизоморфными, если существует биекция f: G1 → G2 такая, что f(ab) = f(b)f(a) для всех a, b G1 . Докажите, что антиизоморфные группы изоморфны.

3 .7 .* Докажите, что не существует нетривиальных гомоморфизмов Q → Z, Q → Q+ .

3 .8 .* Пусть G – группа, g G. Докажите, что для существования f Hom(Z(m), G) такого, что f(1) = g, необходимо и достаточно, чтобы gm = e.

3 .9 . Опишите

а) Hom(Z(6), Z(18)), б) Hom(Z(18), Z(6)), в) Hom(Z(12), Z(15)), г) Hom(Z(m), Z(n)).

3 .10 . Проверьте, что

α, β R, α2 + β2 6= 0 .

3. 11. (Обобщение теоремы Кэли.) Докажите, что сопоставление элементу a G подстановки xH 7→axH на множестве смежных классах по подгруппе H < G является гомоморфизмом G в группу S(G/H). Чему равно его ядро?

3. 12. Проверьте, что множество Aut G всех автоморфизмов группы G образует группу относительно композиции.

3. 13. Проверьте, что отображение f g : G → G, f g (x) = gxg −1 , где g G, является автоморфизмом группы G (такие автоморфизмы называют внутренними ). Проверьте, что внутренние автоморфизмы образуют подгруппу Inn G < Aut G.

3 .14 . Найдите группу автоморфизмов а) Z;

б) нециклической группы порядка 4 (см. задачу 2 .16 ); в) S3 ;

18 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

3 .15 . Верно ли, что: а) G C G, E C G;

б) SL(n, F) C GL(n, F);

в) скалярные ненулевые матрицы образуют нормальную подгруппу в GL(n, F);

г) диагональные (верхнетреугольные) матрицы с ненулевыми диагональными элементами образуют нормальную подгруппу в

д) An C Sn ;

е) Inn G C Aut G?

3 .16 . Пусть = 2. Докажите, что H C G.

3 .17 . Пусть M, N C G. Докажите, что M ∩ N, MN C G.

3 .18 . Пусть N C G, H < G. Докажите, что N ∩ H C H.

3 .19 . Пусть N C G, H < G. Докажите, что NH = HN < G.

3 .20 . Пусть H < G. Докажите, что xHx−1 C G.

3 .21 . Пусть H < K < G. Докажите, что H C K тогда и только тогда, когда K NG (H).

3 .22 . Пусть M, N C G, M ∩ N = E. Докажите, что M и N поэлементно перестановочны.

3 .23 . Докажите, что:

а) Образ нормальной подгруппы при эпиморфизме нормален; б) Полный прообраз нормальной подгруппы (при любом гомо-

морфизме) нормален.

3 .24 . Проверьте, что G/G E, G/E G.

3 .25 . Докажите, что Z/nZ – циклическая группа порядка n.

3 .26 .* Докажите, что:

г) R /R {1, −1};

е) GL(n, F)/SL(n, F) F ;

где GL+ (n, R) := {A GL(n, R) | det A > 0}.

3 .27 . Докажите, что Q/Z – периодическая группа (т.е. порядок любого ее элемента конечен), которая содержит единственную подгруппу порядка n для каждого натурального n. Каждая такая подгруппа – циклическая.

3 .28 .* Докажите, что: а) C(G) C G,

б) Inn G G/C(G).

3 .29 .* Пусть N C G, H < G. Докажите, что NH/N H/H ∩ N.

3 .30 .* Докажите, что если M C N C G, M C G, то

(G/M)/(N/M) G/N.

3 .31 . Докажите, что если G/C(G) циклическая, то G = C(G) (т.е. G/C(G) = E).

3 .32 . Назовем коммутатором элементов x и y группы G элемент := x−1 y−1 xy. Коммутант группы G – это ее подгруппа G0 , порожденная всеми коммутаторами. Докажите, что:

а) G0 C G;

б) Группа G/G0 абелева;

в) G абелева тогда и только тогда, когда G0 = E.

3 .33 . Пусть N C G. Докажите, что G/N абелева тогда и только тогда, когда N G0 .

3 .34 . Определим по индукции G(0) = G, G(n) = (G(n−1) )0 . Группа G называется разрешимой , если G(n) = E для некоторого n N. Проверьте, что:

а) подгруппы и факторгруппы разрешимой группы разрешимы;

б) если N C G такова, что N и G/N разрешимы, то G разрешима.

3 .35 . Докажите, что группа G разрешима тогда и только тогда, когда найдется цепочка подгрупп

E = Gn C Gn−1 C . . . C G1 C G0 = G

20 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

такая, что все факторгруппы Gk /Gk+1 абелевы.

3 .36 . Проверьте, что а) абелевы группы; б) группы S3 и S4 ;

в) подгруппа всех верхнетреугольных матриц в GL(n, F) (где F – поле)

являются разрешимыми.

3 .37 . Пусть G(n) – подгруппа в G, порожденная множеством {gn | g G}. Докажите, что:

а) G(n) C G;

б) G/G(n) имеет период n (т.е. в ней выполнено тождество xn = 1);

в) G имеет период n тогда и только тогда, когда G(n) = E.

3 .38 . Пусть N C G. Докажите, что G/N имеет период n тогда и только тогда, когда N G(n) .

3 .39 . Пусть G – группа (относительно композиции) отображений

φ : R → R вида x 7→ax + b (a 6= 0), H = {φ G | φ : x 7→x + b}. Докажите, что H C G. Чему равна G/H?

3 .40 . Определим на множестве G = Z × Z операцию:

(a, b)(c, d) = (a + (−1)b c, b + d)

Докажите, что G – группа и H = h(1, 0)i C G.

• 1. Группа Z целых чисел с операцией сложения.
• 2. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку циклический число изоморфизм

группа является циклической и элемент образующий.

Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.

3. Пусть - произвольная группа и произвольный элемент. Множество является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение

действующее по формуле:

очевидно является гомоморфизмом и его образ совпадает с. Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g .

Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме, мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z .

В любой группе G могут быть определены степени элемента с целыми показателями:

Имеет место свойство

Это очевидно, если . Рассмотрим случай, когда . Тогда

Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Из (6) следует, что

Кроме того, по определению. Таким образом, степени элемента образуют подгруппу в группе G. Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом, и обозначается через.

Возможны два принципиально разных случая: либо все степени элемента различны, либо нет. В первом случае подгруппа бесконечна. Рассмотрим более подробно второй случай.

Пусть ,; тогда. Наименьшее из натуральных чисел т, для которых, называется в этом случае порядком элемента и обозначается через .

Предложение 1. Если , то

Доказательство . 1) Разделим m на п с остатком:

Тогда в силу определения порядка

В силу предыдущего

Следствие. Если, mo подгруппа содержит n элементов.

Доказательство. Действительно,

причем все перечисленные элементы различны.

В том случае, когда не существует такого натурального т, что (т.е. имеет место первый из описанных выше случаев), полагают. Отметим, что; порядки же всех остальных элементов группы больше 1.

В аддитивной группе говорят не о степенях элемента , а о его кратных, которые обозначают через . В соответствии с этим порядок элемента аддитивной группы G -- это наименьшее из натуральных чисел т (если такие существуют), для которых

ПРИМЕР 1. Характеристика поля есть порядок любого ненулевого элемента в его аддитивной группе.

ПРИМЕР 2 . Очевидно, что в конечной группе порядок любого элемента конечен. Покажем, как вычисляются порядки элементов группы Подстановка называется циклом длины и обозначается через если она циклически переставляет

а все остальные числа оставляет на месте. Очевидно, что порядок цикла длины равен р. Циклы и называются независимыми, если среди фактически переставляемых ими чисел нет общих; в этом случае . Всякая подстановка однозначно разлагается в произведение независимых циклов. Например,

что наглядно показано на рисунке, где действие подстановки изображено стрелками. Если подстановка разлагается в произведение независимых циклов длин , то

ПРИМЕР 3. Порядок комплексного числа с в группе конечен тогда и только тогда, когда это число есть корень некоторой степени из единицы, что, в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда, a соизмерим с, т.е. .

ПРИМЕР 4. Найдем элементы конечного порядка в группе движений плоскости. Пусть. Для любой точки точки

циклически переставляются движением , так что их центр тяжести о неподвижен относительно. Следовательно, - либо поворот на угол вида вокруг точки о , либо отражение относительно некоторой прямой, проходящей через о .

ПРИМЕР 5 . Найдем порядок матрицы

как элемента группы. Имеем

так что. Конечно, этот пример специально подобран: вероятность того, что порядок наудачу выбранной матрицы будет конечен, равна нулю.

Предложение 2. Если , то

Доказательство. Пусть

так что. Имеем

Следовательно, .

Определение 1 . Группа G называется циклической, если существует такой элемент , что . Всякий такой элемент называется порождающим элементом группы G.

ПРИМЕР 6. Аддитивная группа целых чисел является циклической, так как порождается элементом 1.

ПРИМЕР 7. Аддитивная группа вычетов по модулю n является циклической, так как порождается элементом .

ПРИМЕР 8. Мультипликативная группа комплексных корней n-й степени из 1 является циклической. В самом деле, эти корни суть числа

Ясно, что . Следовательно, группа порождается элементом.

Легко видеть, что в бесконечной циклической группе порождающими элементами являются только и. Так, в группе Z порождающими элементами являются только 1 и -- 1.

Число элементов конечной группы G называется ее порядком и обозначается через. Порядок конечной циклической группы равен порядку ее порождающего элемента. Поэтому из предложения 2 следует

Предложение 3 . Элемент циклической группы порядка n является порождающим тогда и только тогда, когда

ПРИМЕР 9. Порождающие элементы группы называются первообразными корнями n -й степени из 1. Это корни вида , где. Например, первообразные корни 12-й степени из 1- это.

Циклические группы -- это наиболее простые группы, которые можно себе представить. (В частности, они абелевы.) Следующая теорема дает их полное описание.

Теорема 1. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе. Всякая конечная циклическая группа порядка п изоморфна группе.

Доказательство . Если -- бесконечная циклическая группа, то в силу формулы (4) отображение есть изоморфизм.

Пусть -- конечная циклическая группа порядка п. Рассмотрим отображение

то отображение корректно определено и биективно. Свойство

вытекает из той же формулы (1). Таким образом, -- изоморфизм.

Теорема доказана.

Для понимания строения какой-либо группы важную роль играет знание ее подгрупп. Все подгруппы циклической группы могут быть легко описаны.

Теорема 2. 1) Всякая подгруппа циклической группы является циклической.

2)В циклической группе порядка n порядок любой подгруппы делит n и для любого делителя q числа n существует ровно одна подгруппа порядка q.

Доказательство . 1) Пусть -- циклическая группа и Н -- ее подгруппа, отличная от (Единичная подгруппа, очевидно, является циклической.) Заметим, что если для какого-либо, то и . Пусть т -- наименьшее из натуральных чисел, для которых. Докажем, что . Пусть . Разделим к на т с остатком:

откуда в силу определения числа т следует, что и, значит,.

2) Если , то предыдущее рассуждение, примененное к (в этом случае ), показывает, что . При этом

и Н является единственной подгруппой порядка q в группе G. Обратно, если q -- любой делитель числа п и, то подмножество Н, определяемое равенством (9), является подгруппой порядка q. Теорема доказана.

Следствие . В циклической группе простого порядка любая неединичная подгруппа совпадает со всей группой.

ПРИМЕР 10. В группе всякая подгруппа имеет вид, где.

ПРИМЕР 11. В группе корней n-й степени из 1 любая подгруппа есть группа корней q- й степени из 1, где.

Пусть g – произвольный элемент группы G. Тогда, принимая , мы получим минимальную подгруппу
, порожденную одним элементом
.

Определение. Минимальная подгруппа
, порожденная одним элементом g группы G, называетсяциклической подгруппой группы G.

Определение. Если вся группа G порождена одним элементом, т.е.
, то она называетсяциклической группой .

Пусть элемент мультипликативной группы G, тогда минимальная подгруппа, порожденная этим элементом, состоит из элементов вида

Рассмотрим степени элемента , т.е. элементы

.

Имеются две возможности:

1. Все степени элемента g различны, т.е.

, то в этом случае говорят, что элемент g имеет бесконечный порядок.

2. Имеются совпадения степеней, т.е. , но
.

В этом случае элемент g имеет конечный порядок.

Действительно, пусть, например,
и
, тогда,
, т.е. существуют положительные степени
элемента
, равные единичному элементу.

Пусть d – наименьший положительный показатель степени элемента , для которого
. Тогда говорят, что элемент
имеет конечный порядок равный d.

Вывод. В любой группе G конечного порядка (
) все элементы будут конечного порядка.

Пусть g элемент мультипликативной группы G, тогда мультипликативная подгруппа
состоит из всех различных степеней элемента g. Следовательно, число элементов в подгруппе
совпадает с порядком элемента т. е.

число элементов в группе
равно порядку элемента ,

.

С другой стороны, имеет место следующее утверждение.

Утверждение. Порядок любого элемента
равен порядку минимальной подгруппы, порожденной этим элементом
.

Доказательство. 1.Если – элемент конечного порядка , то

2. Если – элемент бесконечного порядка, то доказывать нечего.

Если элемент имеет порядок, то, по определению, все элементы

различны и любая степень совпадает с одним из этих элементов.

Действительно, пусть показатель степени
, т.е.– произвольное целое число и пусть
. Тогда числоможно представить в виде
, где
,
. Тогда, используя свойства степени элемента g, получаем

.

В частности, если .

Пример. Пусть
– аддитивнаяабелева группа целых чисел. Группа G совпадает с минимальной подгруппой порожденной одним из элементов 1 или –1:

,

следовательно,
– бесконечная циклическая группа.

Циклические группы конечного порядка

В качестве примера циклической группы конечного порядка рассмотрим группу вращений правильного n-угольника относительно его центра
.

Элементами группы

являются повороты n-угольникапротив часовой стрелки на углы

Элементами группы
являются

,

а из геометрических соображений ясно, что

.

Группа
содержитn элементов, т.е.
, а образующим элементом группы
является, т.е.

.

Пусть
, тогда (см. рис. 1)

Рис. 1 – Группа – вращений правильного треугольника АВС относительно центра О.

Алгебраическая операция  в группе – последовательное вращение против часовой стрелки, на угол, кратный, т.е.

Обратный элемент
– вращение по часовой стрелке на угол 1 , т.е.

.

Таблица К э ли

Анализ конечных групп наиболее наглядно осуществлять с помощью таблицы Кэли, которая является обобщением известной «таблицы умножения».

Пусть группа G содержит n элементов.

В этом случае таблица Кэли представляет собой квадратную матрицу имеющую n строк и n столбцов.

Каждой строке и каждому столбцу соответствует один и только один элемент группы.

Элемент таблицы Кэли, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца, равен результату выполнения операции «умножения» i-го элемента с j-тым элементом группы.

Пример . Пусть группа G содержит три элемента{g 1 ,g 2 ,g 3 }.Операция в группе «умножение».В этом случае таблица Кэли имеет вид:

Замечание. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли находятся все элементы группы и только они. Таблица Кэли содержит полную информацию о группе.Что можно сказать о свойствах этой группы?

1. Единичным элементом этой группы является g 1 .

2.Группа абелева т.к. таблица симметрична относительно главной диагонали.

3.Для каждого элемента группы существуют обратные-

для g 1 обратным является элемент g 1 , для g 2 элемент g 3 .

Построим для групп таблицу Кели.

Для нахождения обратного элемента элементу, например, , необходимо в строке, соответствующей элементунайти столбецj содержащий элемент . Элементсоответствующий данному столбцу и является обратным к элементу, т.к.
.

Если таблица Кели симметрична относительно главной диагонали, то это означает, что

– т.е. операция в рассматриваемой группе коммутативна. Для рассматриваемого примера таблица Кели симметрична относительно главной диагонали это означает, что операция в коммутативна, т.е.
,

а группа – абелева.

Можно рассматривать полную группу преобразований симметрий правильного n – угольника , добавив к операции вращения дополнительные операции пространственного поворота вокруг осей симметрии.

Для треугольника
, а группа содержит шесть элементов

где
это повороты (см. рис. 2) вокруг высоты, медианы, биссектрисы имеют вид:

;

,

,
.

Рис. 2. – Группа – преобразований симметрии правильного треугольника АВС.

Множество, полученное в результате этого процесса, обозначается в тексте как . Обратите внимание также, что a 0 = e .

Пример 5.7

Из группы G = < Z 6 , +> могут быть получены четыре циклических подгруппы. Это H 1 = <{0},+>, H 2 =<{0, 2, 4}, +>, H 3 = <{0, 3}, +> и H 4 = G . Заметим, что когда операция - сложение, то a n означает умножение n на a . Заметим также, что во всех этих группах операция - это сложение по модулю 6 . Ниже показано, как мы находим элементы этих циклических подгрупп .

a. Циклическая подгруппа , сгенерированная из 0 , - это H 1 , имеет только один элемент (нейтральный элемент).

б. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 1 , - это H 4 , которая есть сама группа G .

1 0 mod 6 = 0 1 1 mod 6 = 1 1 2 mod 6 = (1 + 1) mod 6 = 2 1 3 mod 6 = (1 + 1 + 1) mod 6 = 3 1 4 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 4 1 5 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 5(остановка, далее процесс повторяется)

в. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 2 , - это H 2 , которая имеет три элемента: 0, 2 , и 4 .

2 0 mod 6 = 0 2 1 mod 6 = 2 2 2 mod 6 = (2 + 2) mod 6 = 4 (остановка, далее процесс повторяется)

г. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 3 , - это H 3 , которая имеет два элемента: 0 и 3 .

д. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 4 , - H 2 ; это - не новая подгруппа .

4 0 mod 6 = 0 4 1 mod 6 = 4 4 2 mod 6 = (4 + 4) mod 6 = 2 (остановка, далее процесс повторяется)

е. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 5 , - это H 4 , она есть сама группа G .

5 0 mod 6 = 0 5 1 mod 6 = 5 5 2 mod 6 = 4 5 3 mod 6 = 3 5 4 mod 6 = 2 5 5 mod 6 = 1 (остановка, далее процесс повторяется)

Пример 5.8

Из группы можно получить три циклических подгруппы. G имеет только четыре элемента: 1, 3, 7 и 9 . Циклические подгруппы - и . Ниже показано, как мы находим элементы этих подгрупп .

a. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 1 , - это H 1 . Подгруппа имеет только один элемент, а именно - нейтральный.

б. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 3 , - это H 3 , которая есть группа G .

3 0 mod 10 = 1 3 1 mod 10 = 3 3 2 mod 10 = 9 3 3 mod 10 = 7 (остановка, далее процесс повторяется)

в. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 7 , - это H 3 , которая есть группа G .

7 0 mod 10 = 1 7 1 mod 10 = 7 7 2 mod 10 = 9 7 3 mod 10 = 3 (остановка, далее процесс повторяется)

г. Циклическая подгруппа , сгенерированная на основе 9 , - это H 2 . Подгруппа имеет только два элемента.

9 0 mod 10 = 1 9 1 mod 10 = 9 (остановка, далее процесс повторяется)