Какую размерность имеет линейная оболочка векторов. Линейная оболочка системы векторов

L - пересечение M всех подпространств L , содержащих X .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X . Обычно обозначается . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество X .

Свойства

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Линейная оболочка" в других словарях:

Пересечение Мвсех подпространств, содержащих множество Авекторного пространства Е. При этом Мназ. также подпространством, порожденным А. М. И. Войцеховский … Математическая энциклопедия

Линейная оболочка векторов

Линейная оболочка векторов - множество линейных комбинаций этих векторов ∑αiаi со всеми возможными коэффициентами (α1, …, αn) … Экономико-математический словарь

линейная оболочка векторов - Множество линейных комбинаций этих векторов??iаi со всеми возможными коэффициентами (?1, …, ?n). Тематики экономика EN linear hull …

линейная алгебра - Математическая дисциплина, раздел алгебры, содержащий, в частности, теорию линейных уравнений, матриц и определителей, а также теорию векторных (линейных) пространств. Линейная зависимость «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … +… … Справочник технического переводчика

Линейная зависимость - «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, где a1, a2, …, an числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля; x1, x2, …, xn те или иные математические объекты, для которых определены операции сложения … Экономико-математический словарь

Оболочка - см. Линейная оболочка … Экономико-математический словарь

Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия

Группа линейных преобразований векторного пространства Vконечной размерности n над нек рым телом К. Выбор базиса в пространстве Vреализует Л. г. как группу невырожденных квадратных матриц степени пнад телом К. Тем самым устанавливается изоморфизм … Математическая энциклопедия

Книги

Линейная алгебра. Учебник и практикум для СПО
Линейная алгебра. Учебник и практикум для академического бакалавриата , Кремер Н.Ш.. В данный учебник включен ряд новых понятий и дополнительных вопросов, таких как норма матрицы, метод дополнения до базиса, изоморфизм линейных пространств, линейные подпространства, линейная…

L - пересечение M всех подпространств L , содержащих X .

Свойства

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Джангар
Платёжный баланс

Смотреть что такое "Линейная оболочка" в других словарях:

ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА - пересечение Мвсех подпространств, содержащих множество Авекторного пространства Е. При этом Мназ. также подпространством, порожденным А. М. И. Войцеховский … Математическая энциклопедия

Линейная оболочка векторов

Оболочка - см. Линейная оболочка … Экономико-математический словарь

Линейная зависимость

Линейная комбинация - Линейное пространство, или векторное пространство основной объект изучения линейной алгебры. Содержание 1 Определение 2 Простейшие свойства 3 Связанные определения и свойства … Википедия

ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА - группа линейных преобразований векторного пространства Vконечной размерности n над нек рым телом К. Выбор базиса в пространстве Vреализует Л. г. как группу невырожденных квадратных матриц степени пнад телом К. Тем самым устанавливается изоморфизм … Математическая энциклопедия

Книги

Линейная алгебра. Учебник и практикум для СПО Купить за 1471 грн (только Украина)
Линейная алгебра. Учебник и практикум для академического бакалавриата , Кремер Н.Ш.. В данный учебник включен ряд новых понятий и дополнительных вопросов, таких как норма матрицы, метод дополнения до базиса, изоморфизм линейных пространств, линейные подпространства, линейная…

Ве́кторное (или лине́йное ) простра́нство - математическая структура , которая представляет собой набор элементов, называемых векторами , для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число - скаляр . Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного , комплексного или любого другого поля чисел . Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство , векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил . При этом следует отметить, что вектор, как элемент векторного пространства, не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы .

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры . Одна из главных характеристик векторного пространства - его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением . Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе , преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств (англ. ) , где в качестве векторов выступают функции . Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев - подходящей топологией , что позволяет определить понятия близости и непрерывности . Такие топологические векторные пространства , в частности, банаховы и гильбертовы , допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку . Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия , учения о матрицах , системах линейных уравнений , евклидовых векторах .

Определение

Линейное или векторное пространство V (F) {\displaystyle V\left(F\right)} над полем F {\displaystyle F} - это упорядоченная четвёрка (V , F , + , ⋅) {\displaystyle (V,F,+,\cdot)} , где

V {\displaystyle V} - непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами ;
F {\displaystyle F} - поле , элементы которого называются скалярами ;
Определена операция сложения векторов V × V → V {\displaystyle V\times V\to V} , сопоставляющая каждой паре элементов x , y {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} } множества V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} , называемый их суммой и обозначаемый x + y {\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} } ;
Определена операция умножения векторов на скаляры F × V → V {\displaystyle F\times V\to V} , сопоставляющая каждому элементу λ {\displaystyle \lambda } поля F {\displaystyle F} и каждому элементу x {\displaystyle \mathbf {x} } множества V {\displaystyle V} единственный элемент множества V {\displaystyle V} , обозначаемый λ ⋅ x {\displaystyle \lambda \cdot \mathbf {x} } или λ x {\displaystyle \lambda \mathbf {x} } ;

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным - над полем комплексных чисел).

Простейшие свойства

Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
Нейтральный элемент 0 ∈ V {\displaystyle \mathbf {0} \in V}
0 ⋅ x = 0 {\displaystyle 0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0} } для любого .
Для любого x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} противоположный элемент − x ∈ V {\displaystyle -\mathbf {x} \in V} является единственным, что вытекает из групповых свойств.
1 ⋅ x = x {\displaystyle 1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} } для любого x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} .
(− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) {\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x})=-(\alpha \mathbf {x})} для любых и x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} .
α ⋅ 0 = 0 {\displaystyle \alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} } для любого α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} .

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K {\displaystyle K} линейного пространства V {\displaystyle V} такое, что K {\displaystyle K} само является линейным пространством по отношению к определенным в V {\displaystyle V} действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как L a t (V) {\displaystyle \mathrm {Lat} (V)} . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

Для всяких векторов x , y ∈ K {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K} вектор α x + β y {\displaystyle \alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} } также принадлежал K {\displaystyle K} для любых α , β ∈ F {\displaystyle \alpha ,\beta \in F} .

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными .

Свойства подпространств

Линейные комбинации

Конечная сумма вида

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n {\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}}

Линейная комбинация называется:

Базис. Размерность

Векторы x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}} называются линейно зависимыми , если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 {\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}=\mathbf {0} }

при некоторых коэффициентах α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F,} причём хотя бы один из коэффициентов α i {\displaystyle \alpha _{i}} отличен от нуля.

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми .

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из V {\displaystyle V} называется линейно зависимым , если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым , если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Свойства базиса:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n {\displaystyle \mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}} .

Линейная оболочка

Линейная оболочка подмножества X {\displaystyle X} линейного пространства V {\displaystyle V} - пересечение всех подпространств V {\displaystyle V} , содержащих X {\displaystyle X} .

Линейная оболочка является подпространством V {\displaystyle V} .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X {\displaystyle X} . Говорят также, что линейная оболочка V (X) {\displaystyle {\mathcal {V}}(X)} - пространство, натянутое на множество X {\displaystyle X} .

1. Множество многочленов P n (x ) степени не выше n .

2. Множество n -членных последовательностей (с почленным сложением и умножением на скаляр).

3 . Множество функций C [ а , b ] непрерывных на [а , b ] и с поточечным сложением и умножением на скаляр.

4. Множество функций, заданных на [а , b ] и обращающихся в 0 в некоторой фиксированной внутренней точке c: f (c ) = 0 и с поточечными операциями сложения и умножения на скаляр.

5. Множество R + , если x ⊕ y  x  y , ⊙x  x  .

§8. Определение подпространства

Пусть множество W является подмножеством линейного пространства V (W  V ) и такое, что

а) x , y W  x ⊕ y W ;

б) x W ,    ⊙ x W .

Операции сложения и умножения здесь те же, что и в пространстве V (они называются индуцированными пространством V ).

Такое множество W называется подпространством пространства V .

7  . Подпространство W само является пространством.

◀ Для доказательства достаточно доказать существование нейтрального элемента и противоположного. Равенства 0⊙x =  и (–1)⊙х = –х доказывают необходимое.

Подпространство, состоящее только из нейтрального элемента {}и подпространство, совпадающее с самим пространством V , называются тривиальными подпространствами пространства V .

§9. Линейная комбинация векторов. Линейная оболочка системы векторов

Пусть векторы e 1 , e 2 , … e n V и  1 ,  2 , …  n .

Вектор x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = называется линейной комбинацией векторов e 1 , e 2 , … , e n с коэффициентами  1 ,  2 , …  n .

Если все коэффициенты в линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной.

Множество всевозможных линейных комбинаций векторов
называется линейной оболочкой этой системы векторов и обозначается:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n ) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Корректность операций сложения и умножения на скаляр следует из того, что ℒ(e 1 , e 2 , …, e n ) – это множество всевозможных линейных комбинаций. Нейтральный элемент – это тривиальная линейная комбинация. Для элемента х =
противоположным является элемент –x =
. Аксиомы, которым должны удовлетворять операции, также выполнены. Таким образом,ℒ(e 1 , e 2 , …, e n ) является линейным пространством.

Любое линейное пространство содержит в себе в, общем случае, бесконечное множество других линейных пространств (подпространств) – линейных оболочек

В дальнейшем мы постараемся ответить на следующие вопросы:

Когда линейные оболочки разных систем векторов состоят из одних и тех же векторов (т.е. совпадают)?

2) Какое минимальное число векторов определяет одну и ту же линейную оболочку?

3) Является ли исходное пространство линейной оболочкой некоторой системы векторов?

§10. Полные системы векторов

Если в пространстве V существует конечный набор векторов
такой что,ℒ
 V , то система векторов
называется полной системой вV , а пространство называется конечномерным. Таким образом, система векторов e 1 , e 2 , …, e n V называется полной в V системой, т.е. если

х V   1 ,  2 , …  n  такие, что x =  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Если в пространстве V не существует конечной полной системы (а полная существует всегда – например, множество всех векторов пространства V ), то пространство V называется бесконечномерным.

9  . Если
полная вV система векторов и y V , то {e 1 , e 2 , …, e n , y } – также полная система.

◀ Достаточно в линейных комбинациях коэффициент перед y брать равным 0.