Влияние суточного вращения земли на вес тела. Вращение земли вокруг оси

Наше планета пребывает в постоянном движении, она вращается вокруг Солнца и собственной оси. Земная ось - воображаемая линия, проведенная от Северного к Южному полюсу(они при вращении остаются без движения) под углом в 66 0 33 ꞌ по отношению к плоскости Земли. Люди не могут заметить момент вращения, потому что все предметы движутся параллельно, их скорость такая же. Это выглядело бы точно также, как если бы мы плыли на корабле и не замечали движение предметов и объектов на нем находящихся.

Полный оборот вокруг оси завершается в течении одних звездных суток, состоящих из 23 часов 56 минут и 4 секунд. За этот промежуток то одна, то другая сторона планеты поворачивается к Солнцу, получая от него различное количество тепла и света. Помимо этого вращение Земли вокруг оси влияет на её форму (приплюснутые полюса - результат вращения планеты вокруг оси) и на отклонение при движении тел в горизонтальной плоскости (реки, течения и ветра Южного полушария отклоняются влево, Северного - вправо).

Линейная и угловая скорость вращения

(Вращение Земли )

Линейная скорость вращения Земли вокруг оси - 465 м/с или 1674 км/час в зоне экватора, по мере отдаления от него скорость постепенно замедляется, на Северном и Южном полюсах она равна нулю. Например, для граждан экваториального города Кито (столица Эквадора в Южной Америке) скорость вращения как раз 465 м/с, а для москвичей, живущих на 55-ой параллели к северу от экватора, - 260 м/с (почти в два раза меньше).

Ежегодно скорость вращения вокруг оси снижается на 4 миллисекунды, что связано с влиянием Луны на силу морских и океанических отливов и приливов. Притяжение Луны «тянет» воду в направлении, противоположном к осевому вращению Земли, образуя незначительную силу трения, замедляющую скорость вращения на 4 миллисекунды. Скорость углового вращения остается везде одинаковой, её значение - 15 градусов в час.

Почему день сменяется ночью

(Смена дня и ночи )

Время полного оборота Земли вокруг оси - одни звездные сутки (23 часа 56 минут 4 секунды), за этот временной промежуток освещенная Солнцем сторона сначала находится «во власти» дня, теневая - ночи, а затем наоборот.

Если Земля вращалась бы по другому и одна её сторона была постоянно повернута к Солнцу, то там бы была высокая температура (до 100 градусов Цельсия) и вся вода бы испарилась, на другой бы стороне - наоборот свирепствовали морозы и вода находилась под толстым слоем льда. И первые, и вторые условия были бы неприемлемы для развития жизни и существования человеческого вида.

Почему сменяются времена года

(Смена времен года на Земле )

Вследствие того что ось наклонена по отношению к земной поверхности под определенным углом, её участки получают в разное время различное количество тепла и света, что обуславливает смену времен года. По астрономическим параметрам, необходимым для определения времени года, за точки отсчета берут некоторые моменты времени: для лета и зимы это Дни солнцестояния (21 июня и 22 декабря), для весны и осени - Равноденствия (20 марта и 23 сентября). С сентября по март Северное полушарие повернуто к Солнцу меньшее количество времени и соответственно получает меньше тепла и света, здравствуй зимушка-зима, Южное полушарие в это время получает много тепла и света, да здравствует лето! Проходит 6 месяцев и Земля переходит на противоположную точку своей орбиты и уже Северное полушарие получает больше тепла и света, дни становятся длиннее, Солнце поднимается выше - наступает лето.

Если бы Земля располагалась по отношению к Солнцу исключительно в вертикальном положении, то времен года вообще бы не существовало, ведь все точки на освещенной Солнцем половине получали бы одинаковое и равномерное количество тепла и света.

Земной шар совершает сложное движение: вращается около своей оси, движется по орбите вокруг Солнца. Вполне понятно, что Земля не является инерциальной системой отсчета. Тем не менее мы с успехом пользуемся законом Ньютона в земных условиях. Однако в ряде случаев неинерциальность Земли сказывается достаточно резко. Эти случаи мы должны изучить.

Влияние вращения Земли на ее форму. Вес тела.

Если не учитывать вращения Земли, то тело, лежащее на ее поверхности, следует рассматривать как поколщееся.

Сумма действующих на это тело сил равнялась бы тогда нулю. На самом же деле любая точка поверхности земного шара, лежащая на географической широте движется около оси земного шара, т. е. по кругу радиуса радиус Земли, рассматриваемой в первом приближении в виде шара), с угловой скоростью Следовательно, сумма сил, действующих на такую точку, отлична от нуля, равна произведению массы на ускорение и направлена вдоль

Очевидно, что наличие такой результирующей силы (рис. 13)

возможно лишь в том случае, если реакция земной поверхности и сила тяготения направлены под углом друг к другу. Тогда тело будет давить на поверхность Земли (по третьему закону Ньютона) с силой Если бы земной шар покоился, то эта сила равнялась бы силе тяготения и совпадала бы с ней по направлению.

Разложим силу на две: направленную вдоль радиуса и по касательной Наличие вращения Земли приводит, как мы видим из чертежа, к двум фактам. Во-первых, вес (давление тела на Землю) стал меньше силы тяготения. Так как то это уменьшение равно Во-вторых, возникает сила, стремящаяся расплющить Землю, передвинуть вещество к экватору; эта сила Такое расплющивание действительно имело место; Земля имеет не форму шара, а форму, близкую к эллипсоиду вращения. Экваториальный радиус Земли становится в результате указанного действия примерно на долю больше полярного радиуса.

Расплющивающие силы заставляли перемещаться массы земного шара до тех пор, пока он не принял равновесной формы. Когда процесс смещения закончился, расплющивающие силы, очевидно, перестали действовать. Следовательно, силы давления, действующие на поверхность земного «шара», направлены по нормали к поверхности.

Возвратимся теперь к величине давления тела на землю, то есть к той физической величине, которую принято называть весом. Вычисление, сделанное для шара (сила тяготения минус разумеется, несправедливо для истинной фигуры Земли. Однако для приближенных вычислений этим результатом можно пользоваться.

На полюсе вес тела равен силе тяготения. Обозначим через силу тяготения тела на полюсе. Тогда давление тела на земную поверхность в любой точке земного шара, иначе говоря, вес тела, будет равно, как сказано выше, разности силы тяготения и силы т. е.

Министерство образования Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «МЕХАНИКА»

ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Данное пособие входит в серию электронных учебных пособий по теоретической механике, разрабатываемых на кафедре механики СамГТУ.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами темы «Динамика относительного движения материальной точки».

Зав. кафедрой – д.т.н., проф. Я.М.Клебанов, Разработчики – Л.Б.Черняховская, Л.А.Шабанов.

Самара – 2008.

Переносное, относительное и абсолютное движение.

Рассмотрим движение точки М относительно двух систем отсчета, одна

к неподвижной системе отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 .

Всем кинематическим характеристикам, относящимся к относительному движению, присваивается индекс r , кинематическим характеристикам переносного движения–индекс е.

Относительной скоростью V r называется скорость точки по отношению к подвижной системе отсчета.

Переносной скоростью V е называется скорость той точки, неизменно

связанной с подвижной системой отсчета, с которой в данный момент совпадает точка М , относительно неподвижной системы отсчета.

Абсолютная скорость V - это скорость точки относительно неподвижной системы отсчета. Аналогично определяются относительное

ускорение a r , переносное ускорение a e и абсолютное ускорение a .

Теорема о сложении скоростей. При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

V = Ve + Vr

Теорема о сложении ускорений. При сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного ускорений и ускорения Кориолиса.

a = a e + a r + a c

Полученное равенство выражает теорему Кориолиса:

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости и относительной скорости точки.

a c = 2 ω е × V r

Модуль ускорения Кориолиса равен

а С = 2ω e V r sinα ,

где α - угол между векторами ω е и V r .

Направление a c определяется в соответствии с общим правилом

векторного произведения.

Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях:

1) когда ω е = 0, т.е. когда переносное движение является

поступательным,

2) когда V r = 0 , т.е. в случае относительного покоя,

3) когда угол α = 0, т.е. в тех случаях, когда вектора ω е и V r

параллельны.

О сновной закон относительного движения материальной точки .

Рассмотрим движение материальной точки относительно неинерциальной системы координат, т.е. относительно системы координат, движущейся произвольным образом относительно неподвижной.

В случае сложного движения точки абсолютное ускорение определяется по теореме Кориолиса:

Умножим равенство (1) на массу движущейся материальной точки:

m a = m a e + m a r + m a k .

Выделим в подученном равенстве слагаемое, характеризующее относительное движение материальной точки

ma r = ma − ma e − ma с

Вектор Ф e = − m a e называется переносной силой инерции, вектор Ф с = − m a с - силой инерции Кориолиса.

Равенство (2) представляет собой основной закон относительного движения материальной точки:

Относительно неинерциальной (подвижной) системы отсчета материальная точка движется так, как будто к ней, кроме действующей силы, приложены переносная сила инерции и сила инерции Кориолиса.

Векторы Ф e и Ф с можно рассматривать как поправки ко второму закону

Ньютона для материальной точки, движение которой рассматривается относительно неинерциальной системы отсчета.

Частные случаи.

1 . Пусть подвижная система отсчета по отношению к инерциальной системе движется поступательно. В этом случае угловая скорость

переносного движенияω е = 0 , следовательно, будут равняться нулю ускорение Кориолиса и сила инерции Кориолиса: a с = 2 ω e × V r = 0 ,

Ф с = −m a с = 0.

Закон относительного движения материальной точки (2) принимает вид: m a r = F + Ф e

2. Пусть подвижная система отсчета движется поступательно прямолинейно и равномерно. При таком дви ижении a e = 0 , следовательно,

Ф e = − m a e = 0 . Кроме того, ω е = 0 , a с = 0 , Ф с = − m a с = 0. Тогда равенство (2) принимает вид:

ma r = F

Следовательно, основной закон относительного движения точки в этом случае совпадает с основным законом движения точки по отношению к

инерциальной системе отсчета. Отсюда вытекает принцип относительности, открытый Галилеем:

Никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчета в покое или совершает поступательное, равномерное, прямолинейное движение по отношению к инерциальной (неподвижной) системе отсчета.

Таким образом, все системы отсчета, движущиеся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, являются инерциальными.

Это уравнение называется уравнением относительного равновесия материальной точки.

Влияние вращения Земли на равновесие тел.

Рассмотрим силы, действующие на материальную точку М, подвешенную на нити (рис.2) и находящуюся в покое относительно Земли.

На точку М действует сила притяжения F, направленная к центру Земли, сила натяжения нити Т и сила переносная инерции Ф e = − m a e , направленная в сторону, противоположную нормальному ускорению точки

a e n , которое в свою очередь направлено по

радиусу вращения ОМ = r к оси вращения Земли.

ae n = ω 2 OM = ω 2 r.

При равновесии точки на поверхности Земли геометрическая сумма приложенных к точке сил и переносной силы инерции равна нулю:

F + T + Фe = 0.

О М Ф е

ω F

С ψ ϕ m g

что в северном полушарии реки размывают правый берег, в южном – левый. Точно также в северном полушарии при движении по железной дороге давление на правый рельс больше, чем на левый.

Силу инерции Кориолиса также необходимо учитывать при стрельбе на дальние расстояния, например, при расчете траекторий межконтинентальных баллистических ракет.

Пример решения задачи на динамику относительного движения материальной точки.

Шарик массой m = 0,1 кг, прикрепленный к концу горизонтальной пружины, коэффициент жесткости которой с = 2 Н/м, находится в трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω = 4 1/c вокруг вертикальной оси z1 . Длина недеформированной пружины l0 = 0,2 м.

Определить уравнение относительного движения шарика, найти его координату, давление на стенку трубки, а также абсолютную скорость и абсолютное ускорение в момент времени t = 0,2 c.

Движение шарика, принимаемого за материальную точку М, внутри трубки является относительным, переносным - вращательное движение трубки вокруг оси Oz. На точку действуют сила тяжести m g , сила упругости F , и реакция стенки трубки N .

Основной закон относительного движения точки:

ma r = mg + F + N + Фе + Фс , (а)

где Ф е = − m a e - переносная сила инерции; Ф с = − m a с - сила инерции Кориолиса.

Переносная сила инерции направлена противоположно переносному ускорению точки. Так как вращение трубки происходит с постоянной

угловой скоростью, то переносное ускорение является нормальным и

направлено по оси х к точке О . Следовательно, Ф е направлена по оси х вправо.

Нормальное ускорение точки равно: a e n = ω e 2 OM = ω e 2 x . Модуль Фе = ma е = m ω e 2 x .

Ускорение Кориолиса определяется векторным равенством a с = 2 ω e × V r ,

в соответствии с которым вектор a с в данном случае направлен

перпендикулярно плоскости Охz в положительном направлении оси Оу (рис.4), следовательно, сила инерции Кориолиса направлена за чертеж.

Модуль силы инерции Кориолиса равен Ф с = 2m ω e V r , так как векторы ω e и V r перпендикулярны.

Под действием силы инерции Кориолиса шарик будет прижиматься к задней стенке трубки, поэтому полную нормальную реакцию стенки разложим на две взаимно-перпендикулярные составляющие N y и N z .

N = N y + N z

Сила упругости равна коэффициенту жесткости пружины, умноженному на ее удлинение F = c l , и направлена в сторону, противоположную удлинению, величина которого l = c (x − l 0 ) .

Составим дифференциальное уравнение относительного движения шарика:

После сокращения на m и элементарных преобразований получим

Общее решение полученного дифференциального уравнения имеет вид:

где х1 – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, х2 – частное решение дифференциального уравнения (б).

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

r 2 + 4 r = 0 . r = ± 2 i .

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид

х1 =С1 соs 2t + C2 sin2t

Частное решение уравнения (б) находим в форме х2 = В. Здесь B-

получим значения постоянных интегрирования:

С1 = - 0,8, С2 =0.

Уравнение относительного движения точки М принимает вид:

х = - 0,8соs 0,4 + 1 = - 0,8 cos 22,90 + 1 = 0,264. м. Vr = 1,6 sin 0,4 = 1,6 sin 22,90 = 1,024 м/c.

аr = 3,2 cos 0,4 =3,2 cos22,90 = 2,94 м/c.

Ускорение Кориолиса при t = 0,2 c. Равно ас =2 ωe Vr = 8,1 м/c.

Для определения составляющих реакции стенки трубки N y и N z запишем проекции векторного равенства (а) на оси у и z .

0 = Ny –Фс , 0 = Nz –mg, откуда Ny = Фс , Nz = mg.

Сила инерции Кориолиса

Фс = 2m ωe Vr = 2·0,1· 4 ·1,024 =0,81H. Следовательно, Ny = Фс = 0,81(Н), Nz = mg = 9,81(Н).

Реакция стенки трубки N = N y 2 + N z 2 = 0,81 2 + 0,981 2 = 1,2 H Абсолютная скорость шарика

V = Vе + Vr

Переносная скорость V e перпендикулярна ОМ и направлена в сторону вращения трубки.

Ve = ωe OM = ωe x = 4· 0,264 = 1,056 м/с.

Так как векторы V е и V r взаимно перпендикулярны, то модуль

Абсолютное ускорение шарика

a = a e + a r + a с .

Модуль переносного ускорения равен

ае = ωe 2 ОМ = ωe 2 х1 = 4,22 м/c.

Найдем проекции абсолютного ускорения на оси Ох и Оу:

ах = - ае + аr =-4,33 + 2,94 = - 2,39,

ау = аk = 8,44.

Модуль абсолютного ускорения равен

а = а х 2 + а у 2 = (− 1,39)2 + 8,442 = 8,55 м / с .

Контрольные вопросы.

1. Какая система отсчета называется инерциальной?

2. Какая система отсчета не является инерциальной?

3. Какое движение точки называется относительным?

4. Записать основной закон относительного движения точки.

5. Какое движение точки называется переносным?

6. Что называется переносной силой инерции?

7. Чему равна и как направлена переносная сила инерции, если переносное движение является поступательным?

8. Как определяется переносная сила инерции, если переносное движение является равномерным вращением вокруг неподвижной оси?

9. Что называется силой инерции Кориолиса?

10.Как направлен вектор угловой скорости?

11.Как направлена сила инерции Кориолиса?

12.Записать модуль силы инерции Кориолиса.

13.Записать дифференциальные уравнения движения материальной точки относительно системы координат, движущейся поступательно

14.Записать дифференциальные уравнения движения точки относительно системы координат, совершающей вращение вокруг неподвижной оси.

При решении большинства технических задач систему отсчета, связанную с Землей, считают инерциальной (неподвижной). Тем самым не учитывается суточное вращение Земли по отношению к звездам (о влиянии движения Земли по ее орбите вокруг Солнца см. § 99). Это вращение (один оборот в сутки) происходит с угловой скоростью

Рассмотрим, как сказывается такое довольно медленное вращение на равновесии и движении тел вблизи земной поверхности.

1. Сила тяжести. С суточным вращением Земли связано понятие о силе тяжести, являющейся частью силы тяготения (притяжения к Земле). На материальную точку, находящуюся вблизи земной поверхности, действует сила тяготения разлагающаяся на силы (рис. 250).

Сила направленная к земной оси, сообщает точке то нормальное ускорение которое точка должна иметь, участвуя вместе с Землей в ее суточном вращении; если масса точки , а ее расстояние от земной оси , то и численно

Другая составляющая силы тяготения - сила Р и является величиной, называемой силой тяжести. Таким образом,

т. е. сила тяжести равна разности между всей силой тяготения и той ее составляющей, которая обеспечивает участие точки (тела) в суточном вращении Земли.

Направление силы Р определяет направление вертикали в данном пункте земной поверхности (таким будет направление нити, на которой подвешен какой-нибудь груз; натяжение нити при этом равно Р), а плоскость, перпендикулярная силе Р, является горизонтальной плоскостью. Так как где очень мало, то сила Р и численно, и по направлению мало отличается от силы тяготения FT. Модуль силы Р называют весом тела.

2. Относительный покой и относительное движение вблизи земной поверхности. Если в числе действующих сил выделить силу тяготения FT, то уравнением относительного равновесия (покоя) точки на вращающейся Земле согласно (57) будет

Но в данном случае . Тогда и уравнение примет вид т. е. такой же, какой уравнение равновесия имеет, когда система отсчета, связанная с Землей, считается неподвижной.

Следовательно, при составлении уравнений равновесия тел по отношению к Земле дополнительных поправок на вращение Земли вводить не надо (это вращение учитывается наличием в уравнениях силы Р).

Теперь обратимся к уравнению относительного движения (56), в котором тоже выделим силу тяготения. Тогда получим

Но, как и в предыдущем случае, и уравнение примет вид

Отсюда следует, что когда, при составлении уравнений движения, оси, связанные с Землей, считают неподвижными, то пренебрегают учетом только кориолисовой силы инерции, численно равной

где а - угол между относительной скоростью v точки и земной осью.

Так как угловая скорость Земли очень мала, то если скорость v не очень велика, величиной по сравнению с силой тяжести можно пренебречь. Например, при (скорость обычного артиллерийского снаряда) и значение Fkop составляет только около 1% от силы Р. Поэтому в большинстве инженерных расчетов при изучении движения тел систему отсчета, связанную с Землей, можно действительно считать инерциальной (неподвижной).

Учет вращения Земли приобретает практическое значение или при очень больших скоростях (скорости полета баллистических ракет), или для движений, длящихся очень долго (течение рек, воздушные и морские течения).

3. Примеры. Рассмотрим, в чем качественно сказывается влияние вращения Земли на движение тел.

Движение по земной поверхности. При движении точки по меридиану в северном полушарии с севера на юг кориолисово ускорение акор направлено на восток (см. § 67, задача 80), - на запад. При движении с юга на север будет направлена на восток. В обоих случаях, как видим, точка вследствие вращения Земли отклоняется вправо от направления ее движения.

Если точка движется по параллели на восток, то ускорение акор будет направлено вдоль радиуса МС параллели (рис. 251), а сила - в противоположную сторону. Вертикальная составляющая этой силы, направленная вдоль ОМ, вызовет незначительное изменение веса тела, а горизонтальная составляющая, направленная к югу, вызовет отклонение точки тоже вправо от направления ее движения. Аналогичный результат получится при движении по параллели на запад.

Отсюда заключаем, что в северном полушарии тело, движущееся вдоль земной поверхности по любому направлению, будет вследствие вращения Земли отклоняться вправо от направления движения. В южном полушарии отклонение будет происходить влево.

Этим обстоятельством объясняется то, что реки, текущие в северном полушарии, подмывают правый берег (закон Бэра). В этом же причина отклонений ветров постоянного направления (пассаты) и морских течений, а также воздушных масс в циклоне и антициклоне, где вместо движения к центру циклона (область пониженного давления) или от центра антициклона (область повышенного давления) возникает циркуляционное движение воздуха вокруг центра циклона (антициклона).

Вертикальное падение. Чтобы определить направление кориолисовой силы инерции в случае свободно падающей точки, надо знать направление относительной скорости v точки. Так как сила очень мала по сравнению с силой тяжести, то в первом приближении можно считать вектор v, направленным по вертикали, т. е. вдоль линии МО (рис. 251). Тогда вектор будет, как легко видеть, направлен на запад, а сила - на восток (т. е. так, как на рис. 251 направлен вектор v). Следовательно, в первом приближении свободно падающая точка (тело) отклоняется вследствие вращения Земли от вертикали к востоку. Тело, брошенное вертикально вверх, будет, очевидно, при подъеме отклоняться к западу. Величины этих отклонений очень малы и заметны только при достаточно большой высоте падения или подъема, что видно из расчетов, приведенных в § 93.

Действием поворотной силы инерции объясняется размывание правого берега рек северного полушария (закон Бара) Тем же объясняется большее снашивание правого рельса двухпутных железных дорог этого полушария.

Почожич, что поезд движется по меридиану в северном полушарии (рис. 123, а) Тогда скорость движения вдоль меридиана v можно разложить на две составляющие одна (г^) - параллельна земной оси, вторая (г>,) - пер­пендикулярна к ней Направление и величина компоненты скорости г>ц не будут изменяться вследствие вращения Земли, следовательно, эта компонента не свя­зана с силами инерции Со второй компонентой будет происходить то же самое,

что и со скоростью тела, двигающегося по радиусу вращающегося диска. Следо­вательно, на поезд будет действовать сила инерции

FK = 2тш1 = 2mm sin ф, (49 1)

где tn - масса поезда, а (р - широта Легко убедиться по чертежу (рис. 123, б), где пунктиром изображено направление компоненты через момент dt, что сила инерции всегда будет направлена в правую сторону по ходу поезда Поэтому со­вершенно очевидно, что преждевременный износ правого х) рельса можно заме­тить только на двухпутных железных дорогах, где движение по данной колее

Отметим, что поворотная сила инерции существует и тогда, когда поезд дви­жется и не по меридиану. В самом деле, и при движении по пара тели (рис. 124) будет иметь месго поворотное ускорение 2сои, направленное к оси вращения, если поезд движется на восток, и от оси вращения - при движении па запад. Следова­тельно, существует сила инерции

FK = 2mcoy, (49 2)

направленная от оси Земли (или к ее оси); проекция этой силы на горизонтальную плоскость равна

FK sin ф = 2mva sin ф, (49.3)

т. е. той же величине, что и при движении по меридиану, и направлена она также вправо по отношению к движению поезда.

То же следует сказать и о размытии берегов рек: размытие правого берега в северном полушарии (левого - в южном) имеет место независимо от направления течения реки

Читателю предлагается самостоятельно разобрать следующий вопрос: возникает ли поворотная сила инерции при движении поездов по местности вблизи экватора н сказывается ли там она на изнашивании рельса" (О т в е г. имеет место, но она не вызывает неравномерного изнашивания рельсов.)

На дорогах южного полушария - левого.

Если движение свободно падающего тела отнесено к системе отсчета, связан­ной с Землей, то во время падения тела на него действуют три силы, сила тяготе­ния и две силы инерции центробежная и поворотная Величина сил инерции при падении с небольшой высоты (по сравнению с радиусом Земли) будет невелика. Центробежное ускорение равно

(2~t)2 6400 Юз со2/? cos 242 363 10* C0S Ф М/,°2 "" cos Ф м/с2"

где и - угловая скорость вращения Земли, R - радиус Земли, ф - широта На экваторе центробежное ускорение составляет около 0,3% от ускоре­ния силы тяготения, поэтому при приближенном расчете влиянием измененияг)

Вид с полюса

центробежной силы с высотой падения можно пренебречь Гораздо более заметно влияние поворотной силы, которое вызовет отклонение падающего тела к востоку. Отклонение падающего тела к востоку можно просто представить себе" ведь тело в верхней точке из за вращения Земли имеет большую скорость (относительно невращающейся системы координат, связанной с центром Земли), чем то место, на которое оно падаег Отктонсние к востоку можно приближенно очень просто вычистить, полагая, что скорость падения тела <о в первом приближении направ­лена вниз и величина ее равна gt, как при падении на невращающейся Земле (t -» время падения)

Кориочнсова сила инерции равна -2т [<ог>], или приближенно величина ее соаавтяет 2тщ1 cos ф. Следовательно, ускорение к востоку падающего тела приближенно равно

a = 2tog^ cos ф. (49 5)

Проинтегрировав ускорение два раза, получим, что величина смещения падающего тела к востоку приближенно равна 3)

5=4" ЩР cos ф.

J) Заметим, что нам важно знать изменение центробежной силы по высоте, а не самую величину этой силы

t t t

2) s = | JK dt, где wK = ij a dt = 2a>g cos

При этом расчете мы полагали, что сила Кориолиса все время направлена к востоку, и пренебрегли изменением направления скорости v, а следовательно, и изменением направления поворотной силы Подставив числа, мы найдем, что при падении за 4 с на широте 45° (примерно с высоты 80 м) тело сместится к востоку примерно на 3 см Тщательные опыты, в, которых проверялись сме­щения к востоку, подтверждают результаты расчетов

Эти факты дают механическое доказательство вращения Земли. Они показывают, что система отсчета, связанная с Землей, - не- инерциальная система отсчета; только в тех случаях, когда силы, действующие на тело, значительно больше поворотной и центро­бежной сил инерции, можно приближенно считать систему отсчета, связанную с Землей, инерциальной.

Отметим, что центробежная сила инерции имеет определенное направление и величину в данном месте независимо от движения тела, поэтому она проявляется и фактически учитывается вместе с силой тяготения, действующей на тело. Наличие центробежной силы инерции вследствие вращения Земли ведет к тому, что сила тяготения тела и сила веса тела вообще различны они отличаются на величину центробежной силы инерции в данном месте (рис. 125,а).

Здесь шла речь только о суточном вращении Земли вокруг оси. Легко убедиться, что влияние сил инерции, возникающих вслед­ствие вращения Земли вокруг Солнца, будет несравненно меньше. Очевидно, что поворотная сила инерции будет примерно в 360 раз меньше, чем поворотная сила инерции вследствие суточного враще­ния Земли. Центробежная сила инерции вследствие вращения вокруг Солнца будет порядка 0,2 от центробежной силы вследствие суточ­ного вращения на экваторе.

При движении тел вблизи поверхности Земли силы инерции, связанные с вращением Земли вокруг Солнца, и силы притяже­

ния тел к Солнцу практически компенсируют друг друга и в боль­шинстве случаев могут вообще не учитываться. Чтобы показать это, запишем полное уравнение движения материальной точки массы т в околоземном пространстве. Примем за начало неинер­циальной системы отсчета центр массы Земли (рис. 125, б):

тМг> тМг „ „ _

mr^-y-^r-y-^R-mao + Ft + FM. (49.6)

Здесь в порядке следования записаны: сила притяжения материаль­ной точки т Землей; сила притяжения ее Солнцем; сила инерции, возникающая вследствие движения Земли вокруг Солнца по эллип­тической орбите; кориолисова сила инерции и центробежная сила инерции.

Ускорение а0= - y-w-Ro сообщается центру массы Земли

силой притяжения ее к Солнцу. Расстояние от Земли до Солнца R0 да 1,5-108 км.

Численное сравнение слагаемых, представляющих в уравнении (49.6) силу инерции, связанную с неравномерностью орбитального движения системы отсчета, и силу притяжения материальной точки Солнцем, показывает, что они с высокой точностью компенсируют друг друга. Поэтому их общий вклад в уравнение (49.6) можно считать равным нулю.

Действительно, = Ю~4, и R - R0-\-rp&R0. Отсюда

следует, что

Называя, как указано выше (см. рис. 125, а), сумму сил притяже­ния тела Землей и центробежной силы весом тела Р над данной точкой земной поверхности, уравнение (49.6) можно записать в сле­дующем виде:

mf=P+FK==mgr9-2m[(o©OTH], (49.7)

где gb - P/m. Уравнение (49.7) описывает движение тел в около­земном пространстве относительно системы отсчета, связанной с Землей.

Таким образом, только приближенно можно считать систему отсчета, связанную с Землей, инерциальной Ошибка, которая де­лается в этом случае, определяется отношением величин сил инер­ции к величине всех остальных сил, действующих на тело.

Французский ученый Фуко, наблюдая колебания маятника, доказал вра­щение Земчи (1852 г) Если представим, чго маятник подвешен на полкхе, то следует ожидать такую картину при колебаниях маятника плоскость его коле­

баний будет медленно поворачиваться в сторону, противоположную вращению Земли Это вращение плоскости колебаний видно, если наблюдать след котеба- ний маятника, подвешенного над вращающимся диском (рис. 126) Если мы заставим маятник котебаться в какой то пло­скости и затем приведем диск во вращение, то песок, высыпающийся из воронки маятника, которая подвешена вместо груза, покажет нам след движения маятника над диском

В неподвижной системе отсчета нет сил, которые заставили бы маятник изменить нло скость качания, и он будет сохранять ее неиз менной в пространстве, а диск (или Земля) по­ворачиваются под ним Очевидно, что плоскость колебаний маятника на полюсе будет вращаться с угловой скоростью вращения Земли (15° в час) Если же отнести колебания маятника на полюсе к системе координат, связанной с Землей, то вращение плоскости колебаний можно предста­вить себе как результат действия кориолисовой силы. Действительно, она перпендикулярна к скорости вращения и лежит все время в гори­зонтальной плоскости. Эта сила пропорциональ­на скорости движения i рузика маятника и угловой скорости вращения Земли и направлена так, что действие ее завора­чивает траекторию в нужную сторону

След движения маятника на Земле будет различен в зависимости от того, каким образом мы заставим маятник колебаться Проследим след траектории маятника над вращающимся диском (см рис 126) при двух способах запуска маятника Если отклоним грузик маятника в сторону и одновременно приве­дем диск во вращение так, что в момент пуска маятника вороночка получит такую же скорость, как и та точка диска, над которой она находится, след траек­тории будет представлять «звездочку» (рис 127, а) Таким же будет вид траекто­рии на земном полюсе, если маятник запускать из отклоненного положения

В другой раз мы заставим маятник колебаться при неподвижном диске, а зат^ I npii^jM диск во вращение В этом с 1учае траектория представ гяет собой «розетк\"> (рис 127, б) На Земле такая форма траектории будет в том случае, если маятник будет совершать колебания после резкого удара по

покоящемуся грузику. В обоих случаях траектории изгибаются в одну и ту же сторону под действием кориолисЬвой силы.

Таким образом, при колебаниях маятника на полюсе след траектории маят-" ника будет изгибаться и, следовательно, плоскость колебания будет постепенно поворачиваться под действием кориолисовой силы

которая лежит все время в горизонтальной плоскости и направлена всегда вправо по ходу грузика.

Опыт Фуко можно наблюдать и в аудитории, только следует сделать устрой­ство, которое отсчитывает поворот траектории за то время, пока колебания маятника не затухнут. Для опыта делают длину маятника как можно больше,

чтобы увеличить период его колеба­ний; тогда процесс колебаний займет большее время и Земля за это время переместится на больший угол.

Чтобы отметить угол поворота траектории при пуске, заставляют маятник колебаться в плоскости луча света, идущего от точечного источника на экран, так, что вначале на экране видна только четкая неподвижная ли­ния тени от нити подвески при коле­баниях. По прошествии некоторого времени (5-10 мин) плоскость колеба­ний повернется, и на экране будут вид­ны смещения тени от нити.

Для определения угла поворота плоскости колебаний маятника источ­ник света сдвигают в сторону до тех пор, пока опять не будет видна четкая неподвижная тень от нити. Измеряя смещение тени нити и расстояние от нити до экрана, находят угол, на который повернулась плоскость колебаний за данное время. Опыт показывает, что угловая скорость поворота плоскости колебаний маятника равна

со sin ф= 15 sin <р град/ч,

где ф - широта места (рис. 128). Вращение вокруг вертикали на широте ф будет происходить не с угловой скоростью со, а с угловой скоростью, равной проекции to вектора на вертикаль, т.е угловая скорость вращения будет равна со sin ф.

Уменьшение угловой скорости вращения плоскости колебаний можно объяс­нить также и тем, что проекция силы Кориолиса на горизонтальную плоскость в данном месте будет отличаться на коэффициент sin ф от ее величины на полюсе. Действительно, поворот плоскости качания вызовет только эта проекция. Сила Кориолиса, действующая на грузик маятника в данном месте, лежит в плоскости, перпендикулярной к <а и v, и пропорциональна синусу угла между ними. Только в том случае, когда вектор v лежит в плоскости меридиана, кориолисова сила направлена горизонтально; при всех других направлениях эта сила не лежит в горизонтальной плоскости.