Функции числового аргумента. Тригонометрические функции числового и углового аргументов
Урок и презентация на тему: "Тригонометрическая функция числового аргумента, определение, тождества"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Определение числового аргумента.
2. Основные формулы.
3. Тригонометрические тождества.
4. Примеры и задачи для самостоятельного решения.
Определение тригонометрической функции числового аргумента
Ребята, мы знаем что такое синус, косинус, тангенс и котангенс.Давайте посмотрим, можно ли через значения одних тригонометрических функций найти значения других тригонометрических функций?
Определим тригонометрическую функцию числового элемента, как: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
Вспомним основные формулы:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Кстати, как называется эта формула?
$tg(t)=\frac{sin(t)}{cos(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
$ctg(t)=\frac{cos(t)}{sin(t)}$, при $t≠πk$.
Давайте выведем новые формулы.
Тригонометрические тождества
Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Ребята, давайте обе части тождества разделим на $cos^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{cos^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{cos^2(t)}=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Преобразуем: $(\frac{sin(t)}{cos(t)})^2+1=\frac{1}{cos^2(t)}.$
У нас получается тождество: $tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
Теперь разделим обе части тождества на $sin^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{sin^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{sin^2(t)}=\frac{1}{sin^2(t)}$.
Преобразуем: $1+(\frac{cos(t)}{sin(t)})^2=\frac{1}{sin^2(t)}.$
У нас получается новое тождество, которое стоит запомнить:
$ctg^2(t)+1=\frac{1}{sin^2(t)}$, при $t≠πk$.
Нам удалось получить две новых формулы. Запомните их.
Эти формулы используются, если по какому-то известному значению тригонометрической функции требуется вычислить значение другой функции.
Решение примеров на тригонометрические функции числового аргумента
Пример 1.$cos(t) =\frac{5}{7}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех t.
Решение:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Тогда $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac{5}{7})^2=1-\frac{25}{49}=\frac{49-25}{49}=\frac{24}{49}$.
$sin(t)=±\frac{\sqrt{24}}{7}=±\frac{2\sqrt{6}}{7}$.
$tg(t)=±\sqrt{\frac{1}{cos^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{25}-1}=±\sqrt{\frac{24}{25}}=±\frac{\sqrt{24}}{5}$.
$ctg(t)=±\sqrt{\frac{1}{sin^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{24}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{24}-1}=±\sqrt{\frac{25}{24}}=±\frac{5}{\sqrt{24}}$.
Пример 2.
$tg(t) = \frac{5}{12}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $0 Решение: Определение1:
Числовая функция, заданная формулой y=sin x называется синусом. Данная кривая имеет название – синусоида.
Свойства функции y=sin x
2. Область значения функции: E(y)=[-1; 1] 3. Четность функции: y=sin x – нечетная,. 4. Периодичность: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число. Данная функция через определенный промежуток принимает одинаковые значения. Такое свойство функции называют периодичностью.
Промежуток – периодом функции. Для функции y=sin x период составляет 2π. Функция y=sin x – периодическая, с периодом Т=2πn, n – целое число. Наименьший положительный период Т=2π. Математически это можно записать так: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число. Определение2:
Числовая функция, заданная формулой y=cosx называется косинусом. Свойства функции y=cos x
1. Область определения функции: D(y)=R 2. Область значения функции: E(y)=[-1;1] 3. Четность функции: y=cos x –четная. 4. Периодичность: cos(x+2πn)=cos x, где n – целое число. Функция y=cos x – периодическая, с периодом Т=2π. Определение 3:
Числовая функция, заданная формулой y=tg x, называется тангенсом. Свойства функции y=tg x
1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме π/2+πk, k – целое число. Потому что в этих точках тангенс не определен. 3. Четность функции: y=tg x – нечетная. 4. Периодичность: tg(x+πk)=tg x, где k – целое число. Функция y=tg x – периодическая с периодом π. Определение 4:
Числовая функция, заданная формулой y=ctg x, называется котангенсом. Свойства функции y=ctg x
1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме πk, k– целое число. Потому что в этих точках котангенс не определен. 2. Область значения функции: E(y)=R. Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию. Цели урока:
Тип урока:
тренировочный. Вид урока:
урок отработки навыков и умений. Форма обучения:
групповая. Тип групп
:
группа, сидящая вместе. Ученики разного уровня обученности, информированности по данному предмету, совместимые учащиеся, что позволяет им взаимно дополнять и обогащать друг друга. Оборудование:
доска; мел; таблица «Тригонометр»; маршрутные листы; карточки с буквами (А, В, С.) для выполнения теста; таблички с названиями экипажей; оценочные листы; таблицы с названиями этапов пути; магниты, мультимедийный комплекс. Ученики сидят по группам: 4 группы по 5-6 человек. Каждая группа – это экипаж машины с названиями, соответствующими названиям тригонометрических функций, во главе с рулевым. Каждому экипажу выдаётся маршрутный лист и определяется цель: пройти заданный маршрут успешно, без ошибок. Урок сопровождается презентацией. Учитель сообщает тему урока, цель урока, ход урока, план работы групп, роль рулевых. Вступительное слово учителя:
–
Ребята! Запишите число и тему урока:«Тригонометрические функции числового аргумента». Сегодня на уроке мы буде учиться: Для этого нужно знать: Известно давно, что одна голова хорошо, а две лучше, поэтому вы сегодня работаете в группах. Известно также, что дорогу осилит идущий. Но мы живём в век скоростей и время дорого, а значит можно сказать так: «Дорогу осилит едущий», поэтому сегодня урок у нас пройдёт в виде игры «Математическое ралли». Каждая группа – это экипаж машины, во главе с рулевым. Цель игры: Название экипажей соответствует марке машины, на которой вы совершаете пробег. Представляются экипажи и их рулевые: Девиз гонки: «Торопись медленно!» Вам предстоит совершить пробег по «математической местности» со множеством препятствий. Маршрутные листы каждому экипажу выданы. Преодолеть препятствия смогут экипажи, которые знают определения и тригонометрические формулы. Во время пробега каждый рулевой руководит экипажем, помогая, и оценивая вклад каждого члена экипажа в преодоление маршрута в виде «плюсов» и «минусов» в оценочном листе. За каждый правильный ответ группа получает «+», неправильный «-». Вам предстоит преодолеть следующие этапы пути: I этап. ПДД (правила дорожного движения). И так в путь! 1) В каждом экипаже рулевые раздают каждому члену экипажа билеты с теоретическими вопросами: 2) Соберите «рассыпавшиеся» формулы. На тайной доске таблица (см. ниже). Экипажи должны привести в соответствие формулы. Ответ каждая команда записывает на доске в виде строки соответствующих букв (парами). Ответ:
аб, вг, де, ёж, зи, йк. Устная работа: тест.
На тайной доске написано: задание: упростить выражение. Рядом записаны варианты ответов. Экипажи определяют правильные ответы за1 мин. и поднимают соответствующий набор букв. Ответ: С В А.
3 минуты экипажам на совещание по решению задания, а далее представители экипажей пишут решение на доске. Когда представители экипажей закончат записывать решение первого задания, все ученики (вместе с учителем) проверяют правильность и рациональность решений и записывают в тетрадь. Рулевые оценивают вклад каждого члена экипажа знаками « + » и « – » в оценочных листах. Задания из учебника: –
Ваш автомобиль сломался. Необходимо устранить неисправность вашего автомобиля. Для каждого экипажа приведены высказывания, но в них допущены ошибки. Найдите эти ошибки и объясните, почему они были допущены. В высказываниях используются тригонометрические функции, соответствующие маркам ваших машин. Вы устали и должны отдохнуть. Пока экипаж отдыхает рулевые подводят предварительные итоги: считают «плюсы» и «минусы» у членов экипажа и в целом у экипажа. Для учеников:
3 и более «+» – оценка «5»; Для экипажей:
«+» и «-» взаимно уничтожаются. Считаются только оставшиеся знаки. Отгадайте шараду
. Из чисел вы мой первый слог возьмите, Слово «тригонометрия» (от греческих слов «тригонон» – треугольник и «метрео» – измеряю) означает «измерение треугольников». Возникновение тригонометрии связано с развитием географии и астрономии – науки о движении небесных тел, о строении и развитии Вселенной. В результате произведённых астрономических наблюдений возникла необходимость определения положения светил, вычисления расстояний и углов. Так как некоторые расстояния, например, от Земли до других планет, нельзя было измерить непосредственно, то учёные стали разрабатывать приёмы нахождения взаимосвязей между сторонами и углами треугольника, у которого две вершины расположены на земле, а третью представляет планета или звезда. Такие соотношения можно вывести, изучая различные треугольники и их свойства. Вот почему астрономические вычисления привели к решению (т. е. нахождению элементов) треугольника. Этим и занимается тригонометрия. Зачатки тригонометрии были обнаружены в древнем Вавилоне. Вавилонские учёные умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются в старинных памятниках других народов древности. Чтобы успешно пересечь линию финиша осталось поднапрячься и совершить «рывок». Очень важно в тригонометрии уметь быстро определять значения sin t, cost, tgt, ctg t, где 0 ≤ t ≤ . Учебники закрыть. Экипажи поочерёдно называют значения функций sin t, cost, tgt, ctg t , если: Итоги игры.
Рулевые сдают оценочные листы. Определяется экипаж, ставший чемпионом «Математического ралли» и характеризуется работа остальных групп. Далее называются фамилии тех, кто получил оценки «5» и «4». Итоги урока.
– Ребята! Чему вы сегодня научились на уроке? (упрощать тригонометрические выражения; находить значения тригонометрических функций). А что для этого нужно знать? – Я думаю, что вы поняли, что формулы нужно хорошо знать, чтобы их правильно применять. Вы также поняли, что тригонометрия очень важная часть математики, так как она применяется в других науках: астрономии, географии, физике и др. Домашнее задание:
$tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Тогда $\frac{1}{cos^2(t)}=1+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$.
Получаем, что $cos^2(t)=\frac{144}{169}$.
Тогда $cos^2(t)=±\frac{12}{13}$, но $0
Получаем: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac{5}{12}*\frac{12}{13}=\frac{5}{13}$.
$ctg(t)=\frac{1}{tg(t)}=\frac{12}{5}$.Задачи для самостоятельного решения
1. $tg(t) = -\frac{3}{4}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $\frac{π}{2}
4. $cos(t) = \frac{12}{13}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех $t$.
Назад
Вперёд
Ход урока
I. Организационный момент.
II этап. Техосмотр.
III этап. Гонка по пересечённой местности.
IV этап. Внезапная остановка – авария.
V этап. Привал.
VI этап. Финиш.
VII этап. Итоги.I этап. ПДД (правила дорожного движения).
а
tg 2 t + 1
е
1
в
tg t
ж
cos t / sin t, t ≠ к, кZ.
д
sin 2 t + cos 2 t
и
1/ sin 2 t, t ≠ к, кZ.
ё
ctg t
к
1,t ≠ к / 2, кZ.
з
1 + ctg 2 t
г
sin t /cos t, t ≠ /2 + к, кZ.
й
tg t ∙ctg t
б
1/ cos 2 t, t ≠ /2 + к, кZ.
II этап. Техосмотр.
№
Выражение
Варианты ответов
А
В
С
1.
1 – cos 2 t
cos 2 t
- sin 2 t
sin 2 t
2.
sin 2 t – 1
cos 2 t
- cos 2 t
2 cos 2 t
3.
(cos t – 1)(1+ cos t)
-sin 2 t
(1+ cos t) 2
(cos t – 1) 2
III этап. Гонка по пересечённой местности.
IV этап.
Внезапная остановка – авария.
V этап. Привал.
2 «+» – оценка «4»;
1 «+» – оценка «3».
Второй – из слова «гордецы».
А третьим лошадей вы погоните,
Четвёртым будет блеянье овцы.
Мой пятый слог такой же, как и первый,
Последней буквой в алфавите является шестой,
А если отгадаешь ты всё верно,
То в математике раздел получишь ты такой.
(Три-го-но-ме-три-я)VI этап. Финиш.
VII этап. Итоги.