Нахождения частных производных. Частные производные первого и второго порядка
Понятие функции многих переменных
Пусть имеется n-перем-х и каждому х 1 , х 2 … х n из нек-го множ-ва х поставлено в соответствие опред. число Z, тогда на множ-ве х задана ф-ция Z=f(х 1 , х 2 … х n) многих переменных.
Х – обл-ть опред-я ф-ции
х 1 , х 2 … х n – независ-е переем-е (аргументы)
Z – ф-ция Пример: Z=П х 2 1 *х 2 (Объем цилиндра)
Рассм-м Z=f(х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х 1 , х 2 замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.
Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.
Пример: х = х 0 , зн. пл-ть Х || 0уz у = у 0 0хz Вид ф-ции: Z=f(х 0 ,y); Z=f(x,у 0)
Например: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Парабола окруж-ть(центр(0;1)
Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х 0 ,y 0), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих |x-х 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z=f(х;у) непрерывна в т.(х 0 ,y 0), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х 0 и у к у 0 ; - этот предел = знач-ю ф-ции в т.(х 0 ,y 0), т.е. limf(х;у)=f(х 0 ,y 0) Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области Дифференциал ф-ции, его геом смысл. Применение диф-ла в приближенных значениях.
dy=f’(x)∆x – диф-л ф-ции dy=dx, т.е. dy=f ’(x)dx если у=х С геом точки зрения диф-л ф-ции – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке с абсциссой х 0 Диф-л применяют в вычислении приближ. значений ф-ции по формуле: f(х 0 +∆x)~f(х 0)+f’(х 0)∆x Чем ближе ∆x к х, тем результат точнее Частные производные первого и второго порядка
Производная первого порядка(которая называется частной) О. Пусть х, у – приращения независимых переменных х и у в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная z = f(x+ х, y+ у) = f(x,y) называется полным приращением в точке х 0, у 0. Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x,y,+ у) – f(x,y) Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е. Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной. Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х, у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const. Изолированные const соединены с функцией операциями сложения/вычитания. Связанные const соединены с функцией операциями умножения/деления. Производная изолированной const = 0 1.4.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
Пусть z = f(x,y), тогда tz = - называется полным приращением
Частная производная 2-го порядка Для непрерывных функций 2-х переменных смешанные частные производные 2-го порядка и совпадают. Применение частных производных к определению частных производных max и min функций называются экстремумами. О. Точки называются max или min z = f(x,y), если существуют некоторые отрезки такие, что для всех x и y из этой окрестности f(x,y) Т. Если задана точка экстремума функции 2-х переменных, то значение частных производных в этой точке равны 0, т.е. , Точки , в которых частные производные первого порядка называются стационарными или критическими. Поэтому для нахождения точек экстремума функции 2-х переменных используются достаточные условия экстремума. Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка, 1) , причем maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Полный дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях
О. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности в точки . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке , где представлено в виде (1) Где А – постоянная величина, не зависящая от , при фиксированной точке х, - бесконечно малая при . Линейная относительно функция А называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается df() или dy. Таким образом, выражение (1) можно записать в виде (). Дифференциал функции в выражении (1) имеет вид dy = A . Как и всякая линейная функция, он определен для любого значений в то время, как приращение функции необходимо рассматривать только для таких , для которых + принадлежит области определения функции f(x). Для удобства записи дифференциала приращение обозначают dx и называют его дифференциалом независимой переменной x. Поэтому дифференциал записывают в виде dy = Adx. Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных – точки x и переменной dx: Т. Для того, чтобы функция y = g(x) была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом (*)Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке , т.е. . Тогда Поэтому производная f’() существует и равна А. Отсюда dy = f’()dx Достаточность. Пусть существует производная f’(), т.е. = f’(). Тогда
кривую y = f(x) отрезком касательной. Для вычисления значения функции в точке х берут в некоторой ее окрестности точку , такую, что не составляет труда найти f() и f’()/ Определение
1.11
Пусть
задана функция двух переменных z=z(x,y),
(x,y)D
.
ТочкаM
0
(x
0
;y
0
)
-
внутренняя точка области D
. Если
в D
присутствует
такая окрестность UM
0
точки M
0
,
что для всех точек то
точка M
0
называется
точкой локального максимума. А само
значение z(M
0
)
-
локальным максимумом. А
если же для всех точек то
точка M
0
называется
точкой локального минимума
функции z(x,y)
.
А само значение z(M
0
)
-
локальным минимумом. Локальный
максимум и локальный минимум
называются локальными экстремумами
функции z(x,y)
.
На рис. 1.4 поясняется геометрический
смысл локального максимума: M
0
-
точка максимума, так как на
поверхности z
=z (x,y)
соответствующая
ей точка C
0
находится
выше любой соседней точки C
(в
этом локальность максимума). Заметим,
что на поверхности в целом есть
точки (например, В
),
которые находятся выше C
0
,
но эти точки (например, В
)
не являются "соседними" с
точкой C
0
. В
частности, точке В
соответствует
понятие глобального максимума: Аналогично
определяется и глобальный минимум: Нахождение
глобальных максимумов и минимумов
будет рассмотрено в п.1.10. Теорема
1.3
(необходимые
условия экстремума). Пусть
задана функция z
=z (x,y), (x,y)D
.
Точка M
0
(x
0
;y
0
D
-
точка локального экстремума. Если
в этой точке существуют z"
x
и z"
y
,
то Геометрическое
доказательство "очевидно".
Если в точке C
0
на
(рис.1.4) провести касательную
плоскость, то она "естественно"
пройдет горизонтально, т. е. под
углом 0°
к
оси Ох
и
к оси Оу
. Тогда
в соответствии с геометрическим
смыслом частных производных
(рис.1.3): что
и требовалось доказать. Определение
1.12.
Если
в точке M
0
выполняются
условия (1.41), то она называется
стационарной точкой функции z
(x,y)
. Теорема
1.4
(достаточные
условия экстремума). Пусть
задана z
=z (x,y), (x,y)D
,
которая имеет частные производные
второго порядка в некоторой
окрестности точки M
0
(x
0
,y
0
)D
.
Причем M
0
-
стационарная точка (т. е. необходимые
условия (1.41) выполнены). Вычислим: Доказательство
теоремы использует темы (формула
Тейлора функции нескольких переменных
и теория квадратичных форм), которые
в этом пособии не рассматриваются. Пример
1.13.
Исследовать
на экстремум: Решение
1.
Найдём стационарные точки, решая
систему (1.41): то
есть найдены четыре стационарные
точки.
2. по
теореме 1.4 в точке –
минимум.
Причём
по
теореме 1.4 в точке Максимум.
Причём Калькулятор вычисляет производные всех элементарных функций, приводя подробное решение. Переменная дифференцирования определяется автоматически. Производная функции
— одно из важнейших понятий в математическом анализе. К появлению производной привели такие задачи, как, например, вычисление мгновенной скорости точки в момент времени , если известен путь в зависимоти от времени , задача о нахождении касательной к функции в точке. Чаще всего производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует. Определение.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда производной функции в точке называется предел, если он существует Для того, чтобы научиться дифференцировать функции, нужно выучить и понять правила дифференцирования
и научиться пользоваться таблицей производных
. Пусть и — произвольные дифференцируемые функции от вещественной переменной, — некоторая вещественная постоянная. Тогда — правило дифференцирования произведения функций
— правило дифференцирования частного функций
0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — дифференцирование функции с переменным показателем степени
— правило дифференцирования сложной функции
— правило дифференцирования степенной функции
Наш калькулятор быстро и точно вычислит производную любой функции онлайн. Программа не допустит ошибки при вычислениях производной и поможет избежать долгих и нудных расчётов. Онлайн калькулятор будет полезен и в том случае, когда есть необходимость проверить на правильность своё решение, и если оно неверно, быстро найти ошибку. Продолжаем всеми любимую тему математического анализа – производные. В данной статье мы научимся находить частные производные функции трёх переменных
: первые производные и вторые производные. Что необходимо знать и уметь для освоения материала? Не поверите, но, во-первых, нужно уметь находить «обычные» производные функции одной переменной – на высоком или хотя бы среднем уровне. Если с ними совсем туго, то начните с урока Как найти производную?
Во-вторых, очень важно прочитать статью и осмыслить-прорешать если не все, то бОльшую часть примеров. Если это уже сделано, то уверенной походкой идём со мной, будет интересно, даже удовольствие получите! Методы и принципы нахождения частных производных функции трёх переменных
на самом деле очень похожи на частные производные функции двух переменных. Функция двух переменных, напоминаю, имеет вид , где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве. Функция трёх переменных имеет вид , при этом переменные называютсянезависимыми
переменными
или аргументами
, переменная называется зависимой переменной
или функцией
. Например: – функция трёх переменных А теперь немного о фантастических фильмах и инопланетянах. Часто можно услышать о четырехмерном, пятимерном, десятимерном и т.д. пространствах. Чушь или нет? – Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)? – Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни. – Возможно ли путешествие в прошлое? – Возможно ли путешествие в будущее? – Существуют ли инопланетяне? На любой вопрос можно выбрать один из четырёх ответов: Кто правильно ответит на все вопросы, тот, скорее всего, обладает некоторой вещью;-) Ответы на вопросы я постепенно буду выдавать по ходу урока, не пропускайте примеры! Собственно, полетели. И сразу хорошая новость: для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных
. Именно поэтому вам необходимо хорошо управляться с «обычными» производными функций
одной переменной. Отличий совсем немного! Пример 1
Решение:
Нетрудно догадаться –для функции трёх переменных существуют три
частных производных первого порядка, которые обозначаются следующим образом: Или – частная производная по «икс»; В ходу больше обозначение со штрихом, но составители сборников, методичек в условиях задач очень любят использовать как раз громоздкие обозначения – так что не теряйтесь! Возможно, не все знают, как правильно читать вслух эти «страшные дроби». Пример: следует читать следующим образом: «дэ у по дэ икс». Начнём с производной по «икс»: . Когда мы находим частную производную по
, то переменныеи
считаются константами (постоянными числами).
А производная любой константы, о, благодать, равна нулю:
Сразу обратите внимание на подстрочный индекс – никто вам не запрещает помечать, что являются константами. Так даже удобнее, начинающим рекомендую использовать именно такую запись, меньше риск запутаться. (1) Используем свойства линейности производной, в частности, выносим все константы за знак производной. Обратите внимание, что во втором слагаемом константу выносить не нужно: так как «игрек» является константой, то – тоже константа. В слагаемом за знак производной вынесена «обычная» константа 8 и константа «зет». (2) Находим простейшие производные, не забывая при этом, что – константы. Далее причесываем ответ. Частная производная . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменныеи
считаются константами:
(1) Используем свойства линейности. И снова заметьте, что слагаемые , являются константами, а значит, за знак производной выносить ничего не нужно. (2) Находим производные, не забывая, что константы. Далее упрощаем ответ. И, наконец, частная производная . Когда мы находим частную производную по «зет», то переменныеи
считаются константами:
Общее правило
очевидно и незатейливо: Когда мы находим частную производную
по какой-либо
независимой переменной, то
две другие
независимые переменные считаются константами.
При оформлении данных задач следует быть предельно внимательным, в частности, нельзя терять подстрочные индексы
(которые указывают, по какой переменной проводится дифференцирование). Потеря индекса будет ГРУБЫМ НЕДОЧЁТОМ. Хммм…. забавно, если после такого устрашения я их сам где-нибудь их пропущу) Пример 2
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно. Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)? Верный ответ: Наукой это не запрещено
. Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво
работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая задается функцией трех переменных . А может быть гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств, сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений. Вернемся к примерам. Да, если кто сильно загрузился викториной, ответы на следующие вопросы лучше прочитать после того, как научитесь находить частные производные функции трёх переменных, а то я вам по ходу статьи вынесу весь мозг =) Помимо простейших Примеров 1,2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Такие примеры, к моей досаде, выпали из поля зрения, когда я создавал урок Частные производные функции двух переменных
. Навёрстываем упущенное: Пример 3
Решение:
вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться. Разберём пример последовательно, чётко и понятно. Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной: Это степенная
функция со сложным основанием (синусом). По : Теперь вспоминаем, что , таким образом: На чистовике, конечно, решение следует оформить так: Находим частную производную по «игрек», считаются константами. Если «икс» константа, то – тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной: Это показательная
функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции
: Теперь вспоминаем нашу замену: Таким образом: На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно: И зеркальный случай с частной производной по «зет» ( – константы): При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно. Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле: В данном случае: И делов то. Отмечу, что в практических задачах полный дифференциал 1-го порядка функции трёх переменных требуют составить значительно реже, чем для функции двух переменных. Забавный пример для самостоятельного решения: Пример 4
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка Полное решение и ответ в конце урока. Если возникнут затруднения, используйте рассмотренный «чайниковский» алгоритм, он гарантированно должен помочь. И ещё полезный совет – не спешите
. Такие примеры быстро не решаю даже я. Отвлекаемся и разбираем второй вопрос: Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни. Верный ответ: Да
. Причём, очень легко. Например, добавляем к длине/ширине/высоте четвёртое измерение – время. Популярное четырехмерное пространство-время и всем известная теория относительности, аккуратно украденная Эйнштейном у Лобачевского, Пуанкаре, Лоренца и Минковского. Тоже не все знают. За что у Эйнштейна Нобелевская премия? В научном мире был страшный скандал, и Нобелевский комитет сформулировал заслугу плагиатора примерно следующим образом: «За общий вклад в развитие физики». Так то оно. Бренд троечника Эйнштейна – чистая раскрутка и пиар. К рассмотренному четырехмерному пространству легко добавить пятое измерение, например: атмосферное давление. И так далее, так далее, так далее, сколько зададите измерений в своей модели – столько и будет. В широком смысле слова мы живём в многомерном пространстве. Разберём еще пару типовых задач: Пример 5
Найти частные производные первого порядка в точке Решение:
Задание в такой формулировке часто встречается на практике и предполагает выполнение следующих двух действий: Решаем: (1) Перед нами сложная функция, и на первом шаге следует взять производную от арктангенса. При этом мы, по сути, невозмутимо используем табличную формулу производной арктангенса . По правилу дифференцирования сложной функции
результат необходимо домножить на производную внутренней функции (вложения): . (2) Используем свойства линейности. (3) И берём оставшиеся производные, не забывая, что – константы. По условию задания необходимо найти значение найденной частной производной в точке . Подставим координаты точки в найденную производную: Преимуществом данного задания является тот факт, что другие частные производные находятся по очень похожей схеме: Как видите, шаблон решения практически такой же. Вычислим значение найденной частной производной в точке : И, наконец, производная по «зет»: Готово. Решение можно было оформить и по другому: сначала найти все три частные производные, а потом вычислить их значения в точке . Но, мне кажется, приведенный способ удобнее – только нашли частную производную, и сразу, не отходя от кассы, вычислили её значение в точке. Интересно отметить, что геометрически точка – вполне реальная точка нашего трехмерного пространства. Значения же функции , производных – уже четвертое измерение, и где оно геометрически находится, никто не знает. Как говорится, по Вселенной никто с рулеткой не ползал, не проверял. Коль скоро снова философская тема пошла, рассмотрим третий вопрос: Возможно ли путешествие в прошлое? Верный ответ: Нет
. Путешествие в прошлое противоречит второму закону термодинамики о необратимости физических процессов (энтропии). Так что не ныряйте, пожалуйста, в бассейн без воды, событие можно открутить назад только в видеозаписи =) Народная мудрость не зря придумала противоположный житейский закон: «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Хотя, на самом деле грустная штука, время однонаправлено и необратимо, никто из нас завтра не помолодеет. А различные фантастические фильмы вроде «Терминатора» с научной точки зрения – полная чушь. Абсурд и с точки зрения философии – когда Следствие, вернувшись в прошлое, может уничтожить собственную же Причину. . Интереснее с производной по «зет», хотя, всё равно почти то же самое: (1) Выносим константы за знак производной. (2) Здесь опять произведение двух функций, каждая из которых зависит
от «живой» переменной «зет». В принципе, можно использовать формулу производной частного, но проще таки пойти другим путём – найти производную от произведения. (3) Производная – это табличная производная. Во втором слагаемом – уже знакомая производная сложной функции. Пример 9
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как рациональнее находить ту или иную частную производную. Полное решение и ответ в конце урока. Перед тем как перейти к заключительным примерам урока и рассмотреть частные производные второго порядка
функции трёх переменных, всех еще раз взбодрю четвертым вопросом: Возможно ли путешествие в будущее? Верный ответ: Наукой это не запрещено
. Парадоксально, но не существует математического, физического, химического или другого естественнонаучного закона, который бы запрещал путешествие в будущее! Кажется чушью? Но практически у каждого в жизни бывало предчувствие (причём, не подкрепленное никакими логическими доводами), что произойдет то или иное событие. И оно происходило! Откуда пришла информация? Из будущего? Таким образом, фантастические фильмы о путешествии в будущее, да и, к слову, предсказания всевозможных гадалок, экстрасенсов нельзя назвать таким уж бредом. По крайне мере, наука этого не опровергла. Всё возможно! Так, когда я учился в школе, то компакт диски и плоские мониторы из фильмов казались мне невероятной фантастикой. Известная комедия «Иван Васильевич меняет профессию» – выдумка наполовину (как максимум). Никакой научный закон не запрещал Ивану Грозному оказаться в будущем, но невозможно, чтобы два перца оказались в прошлом и исполняли обязанности царя. Функции двух переменных, частные производные, дифференциалы и градиент Тема 5.
Функции двух переменных.
частные производные
Определение функции двух переменных, способы задания. Частные производные. Градиент функции одной переменной Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области 1. Определение функции нескольких переменных, способы задания
Для функции двух переменных
Для наглядного представления функции двух перемен
ных применяются линии уровня
. Пример
.
Для функции Графиком линейной функции
является плоскость
в пространстве. Для функции график представляет собой плоскость, проходящую через точки Линиями уровня функции
являются параллельные прямые, уравнение которых Для линейной функции двух переменных
4 График функции
0 1 2 Х Линии уровня функции
Частные прои
зводные функции двух переменных
Рассмотрим функцию называется частным приращением функции по переменной
в точке Аналогично определяется частное приращение функции
по переменной
: . Обозначение
частной производной по
: , ,
Частной производной функции по переменной называется конечный предел:
Обозначения: , , Для нахождения частной производной Аналогично, для нахождения частной производной по переменной постоянной считается переменная .
Пример
. Для функции Частная производная функции Найдем частную производную функции по , считая постоянной : Вычислим значения частных производных при ; Частными производными второго порядка
функции нескольких переменных называются частные производные от частных производных первого порядка. Запишем для функции частные производные 2-го порядка: ; ; ; Если смешанные частные производные функции нескольких переменных непрерывны в некоторой точке . Пример.
Для функции найти частные производные второго порядка Решение
Смешанная частная производная находится последовательным дифференцированием сначала функции по (считая постоянным), затем дифференцированием производной Производная находится дифференцированием сначала функции по , затем производной по . Смешанные частные производные равны между собой: 3. Градиент функции двух переменных
Свойства градиента
Пример
. Дана функция Решение
Найдем координаты градиента – частные производные. В точке 5 4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области
Постановка задачи.
Пусть на плоскости замкнутая ограниченная область Важной является задача нахождения экстремума
, математическая модель которой содержит линейные
ограничения (уравнения, неравенства) и линейную
функцию Постановка задачи.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции при ограничениях
(2.2) . (2.3) Поскольку для линейной функции многих переменных нет критических точек внутри
области Графическое решение системы линейных неравенств
Для графического решения данной задачи необходимо уметь решать графически системы линейных неравенств с двумя переменными. Порядок действий: Отметим, что неравенство Пример.
Решить графически неравенство Запишем уравнение граничной прямой Координаты точки Решение Пример.
Построить область решений системы неравенств Решениями неравенств является: 1) 2) 3) 4) - полуплоскость выше оси абсцисс, то есть прямой () 0 Область допустимых решений
данной системы линейных неравенств – это множество точек, расположенных внутри и на границе четырехугольника Геометрическое изображение линейной функции
(линии уровня и градиент)
Зафиксируем значение Построим градиент
- вектор Пример
. Построить линии уровня и градиент функции Линии уровня при , , - это прямые Геометрическая постановка задачи.
Найти в области решений системы линейных неравенств точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению линейной функции с двумя переменными. Последовательность действий: 4. Найти координаты точки А, решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке А, и вычислить наименьшее значение функции Как вычислить производную функции?
Правила дифференцирования
Производная функции онлайн
Ведь функция трёх переменных подразумевает тот факт, что все дела происходят в четырехмерном пространстве (действительно, переменных же четыре). График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность
. Представить её невозможно, поскольку мы живём в трехмерном пространстве (длина/ширина/высота). Чтобы вам со мной не было скучно, предлагаю викторину. Я задам несколько вопросов, а желающие могут попробовать на них ответить:
Да / Нет (наукой это запрещено) / Наукой это не запрещено / Не знаю
или – частная производная по «игрек»;
или – частная производная по «зет».
или ещё можно записать так:
– нужно найти частные производные первого порядка;
– нужно вычислить значения частных производных 1-го порядка в точке .
областью определения
является некоторое множество точек на плоскости
, а областью значений - промежуток на оси
.
построить график и линии уровня. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку
.
,
,
.
.
линии уровня задаются уравнением
и представляют собой семейство параллельных прямых на плоскости.
. Придадим переменной в точке
произвольное приращение
, оставляя значение переменной неизменным
. Соответствующее приращение функции
.
,
.
,
.
по переменной используются правила дифференцирования функции одной переменной, считая переменную постоянной..
найти частные производные
,
и вычислить их значения в точке
.
по переменной находится в предположении, что постоянна:
,
:
.
;
.
и т.д.
, то они равны между собой
в этой точке. Значит, для функции двух переменных значения смешанных частных производных не зависят от порядка дифференцирования:
и
.
по (считая постоянным).
.
. Найти градиент
в точке
и построить его.
градиент
равен . Начало вектора
в точке , а конец - в точке .
задается системой неравенств вида
. Требуется найти в области точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.
.
(2.1)
, то оптимальное решение, доставляющее целевой функции экстремум, достигается только на границе области
. Для области, заданной линейными ограничениями, точками возможного экстремума являются угловые точки
. Это позволяет рассматривать решение задачи графическим методом
.
определяет правую координатную полуплоскость
(от оси
), а неравенство
- верхнюю координатную полуплоскость
(от оси
).
.
и построим ее по двум точкам, например,
и
. Прямая делит плоскость на две полуплоскости.
удовлетворяют неравенству (
– верно), значит, и координаты всех точек полуплоскости, содержащей точку , удовлетворяют неравенству. Решением неравенства будут координаты точек полуплоскости, расположенной справа от граничной прямой , включая точки на границе. Искомая полуплоскость на рисунке выделена.
системы неравенств называется допустимым
, если его координаты неотрицательны , . Множество допустимых решений системы неравенств образует область, которая расположенав первой четверти координатной плоскости.
- полуплоскость, расположенная левее и ниже относительно прямой ()
;
– полуплоскость, расположенная в правой-нижней полуплоскости относительно прямой ()
;
- полуплоскость, расположенная правее прямой ()
;
.
, являющегося пересечением
четырех полуплоскостей.
, получим уравнение
, которое геометрически задает прямую. В каждой точке прямой функция принимает значение и является линией уровня.
Придавая различные значения, например,
, ... , получим множество линий уровня - совокупность параллельных
прямых
.
, координаты которого равны значениям коэффициентов при переменных в функции
. Данный вектор: 1) перпендикулярен каждой прямой (линии уровня)
; 2) показывает направление возрастания целевой функции.
.
,
,
, параллельные друг другу
. Градиент – это вектор , перпендикулярный каждой линии уровня.Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области
. Аналогично - для точки В и наибольшего значения функции
. построена по точкам.переменных
Частные
производные
функции
нескольких переменных
и техника дифференцирования. Экстремум функции
двух
переменных
и его необходимое...